对数三角函数积分与特殊函数的关系

于航

【摘要】利用超几何函数与Γ（x）函数的性质得到一类超几何级数的解析式，并利用数学归纳法得到一类级数的微分等式，通过函数的幂级数展开理论可以得到对数积分∫π/20lnsinθndθ与Riemannζ（s）函数的等式关系，并对上述方法进行推广得到积分∫π/20sinmθlnsinθndθ与Riemannζ（s）函数的等式关系.如果利用包括留数定理在內的一些理论还可以得到一些形如∫π/20lntanθndθ等对数积分的特殊函数解析式.

【关键词】超几何函数；对数积分；留数定理；特殊函数

1.引言

在数论与特殊函数的知识领域中Riemannζ（s）函数和G（s）函数都是非常重要的函数，其定义为ζ（s）=∑∞n=11/ns，G