高中数学中函数与方程思想的研究（修订版）

张胜言

【摘要】高中数学的精髓在于数学思想，而数学思想的核心又是在函数与方程思想中体现的.很多看似难度极大的题目其实有着非常多的隐含条件可以去挖掘，掌握函数与方程思想方法不仅能够快速挖掘出解题要素，同时也能提高解题质量.文章从函数与方程的解题思想出发，通过解题实例的讨论对该思想方式作出详细的分析和说明.

【关键词】高中数学；函数思想；方程思想；案例

一、函数与方程思想分析

数学方法是解决问题的程序，它具有一定的可操作性，并且能够支配教学实践活动.数学思想是数学的灵魂，但是它是内隐的，必须通过数学方法等外显要素将其表达出来.用教学成果去解决问题称为方法，用教学成果探讨它的价值和意义则是思想.

1.函数的思想核心

函数是一种有着运动变化的模型，在高中阶段函数思想贯穿数学课本的始终，任何一个数的运算我们都可以将其改造成函数，函数思想的实质就是用联系和变化建立其一种特定的关系.函数的核心思想在于图像和性质，从函数的性质和图像出现所展开的分析是非常具有条理性的.在解题中，我们可以已知条件中的方程、不等式问题都化为函数为题来解答，根据函数的性质来为方程求解提供相关支持.同时在实践教学中我们发现，如果将不等式、方程等问题运用函数思想来解答，能够起到极好的简化操作步骤，让解题思路清晰明了的呈现出来.

2.方程的思想核心

方程思想的本质其实是认识方程的概念，通過利用方程或是方程组的观察来进行问题的处理.函数的问题能够通过方程来解答，同样方程的问题我们也可以通过函数来解答，二者的关系式十分微妙的，如果能够找到其中的关系，那么高中函数与方程的解题就能够轻而易举实现了.方程思想的核心在于从函数关系出发，通过构建函数关系所对应的方程式式来进行求解.

我们可以通过一个例子来进行具体说明：函数与方程的转换十分简单，我们可以将常规的y=f（x）转化为一般方程f（x）-y=0，那么在具体的解答过程中，我们就可以通过解最普遍的二元方程组来完成此题.如果题目中还涉及函数的定义域、值域等问题，我们都可以通过方程思想加以解答，往往还能达到事半功倍的效果.

二、函数与方程求解案例分析

对于函数思想与方程思想研究，我们可以更多的从实际案例中进行分析.通过构造函数关系为出发点，然后以所构造的函数图像及性质为切入点，然后在解决所对应的方程中的问题，这也是函数与方程思想的核心所在.

例1定义x1满足条件2x+2x=5，同时x2满足条件：2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值.

分析从题目中我们可以发现，条件中所给出的未知数满足的条件是超越了方程的类型的.此类方程我们无法通过直接计算的方式得出答案，因此我们要寻找超越方程的联系，先将方程进行转换为函数，然后在求解，这也是函数与方程思想的变形.

解题首先，我们将方程2x+2x=5定义为①，将方程2x+2log2（x-1）=5定义为②，然后进行同等函数变化.将①的两边同时“-2x”的方式，得到2x-1=52-x.将方程②也进行相同的变化，可以得到log2（x-1）=52-x.下来我们可以对方程①和②进行分析，将它们转化为函数模式.

方程①可以视作函数a（y=2x-1）与函数by=52-x在坐标系相交中所产生交点M的横坐标数值；方程②可以视作cy=log2（x-1）与函数by=52-x在坐标系相交中所产生交点N的横坐标数值.

通过上述方程，我们可以运用方程与函数的思想将方程转化为函数求解.通过观察我们可以知道方程①所对应的函数a和方程②所对应的函数c都还可以进一步的处理，即我们可以发现a由y=2x这个函数向右平移一个单位得到的，方程c是由y=log2x这个方程向右平移一个单位得到的.而y=2x与y=log2x关于y=x，因此我们可以判定a与c关于y=x-1对称，即y=x-1与b是相互垂直的.联立y=x-1与b可以求出相交点P的坐标为P74，34，而且M，N关于点P对称，所以我们可以得出x1+x2=74×2=72

三、函数与方程思想解题归纳

在高中数学解题中，我们可以将函数与方程思想作为解题的指导思想来运用，首先分析学生的基础水平，根据学生的数学水平来进行课程设计，帮助培养学生的数学能力.对于这种方程与函数的转化解题，我们可以先引导学生自主思考，然后在分别从函数和方程的思想进行解析，引导学生自主将两种思想进行结合解题.

函数与方程的思想我们可以将之作为一种解题策略，这是基于数学知识存在的，同时它又不仅局限于数学知识.它也是一种指导思想，教师可以通过学生的学习层次，提出不同的要求，并且有意识的培养学生此种解题思想.我国数学教育往往更加注重应试而忽略了教育中的思维能力的表达.只有教师对此十分重视，才能够在教学过程中将之渗透给学生，培养学生的数学思维.

结束语

总之，函数与方程思想是高中阶段数学学科中的重要内容之一，同时也是现阶段数学学科高考中的重要内容.对于教师来说，如果能够通过加入一些教学活动的方式来引导学生更充分的认识数学思想是最好的.在解题技巧讲解上，更加注重理论与实践的结合，分析与讨论的结合，这样才能指导学生对条件的深挖，进而解决问题.