高中数学数形结合思想的培养和教学实践

冯剑锋

【摘要】在我国传统的数学教学中，教学方法是多种多样的.而在高中数学的教学中，数与形是两个最基本的概念，数形结合的思想既是高中数学教学的重点，也是一种重要的教学思想方法.在高中数学教学活动中，教师培养学生数形结合的思想方法进行数学解题，能够提高学生的思维能力，提高教师的教学质量和效率.

【关键词】高中数学；数形结合；教学

在高中的数学教学中，教师要引导学生对生活图形进行观察和分析，把生活中的图形和数字进行结合；同时，对于一些抽象的数学问题，需要通过图形把它形象具体化.因此，在教学活动中进行数形结合思想的渗透，把握教学教材，以形助数，以数解形，让学生学会用数形结合的思想去学习高中数学知识和解决高中数学问题.

一、数形结合方法解决高中数学问题的分类

作为一种常用的数学方法，数形结合方法被广泛应用于高中数学教学.一般而言，数形结合方法主要用于解决以下几类数学问题，如表1所示.

1集合问题借助数轴、Venn图来处理集合运算中的交、并、补等运算简化问题，让运算变得更为快捷、明了

2函数问题研究函数图像，分析函数的基本性质（如函数的单调性、连续行、周期性、对称性等）将函数图像的几何特征与数量特征紧密结合在一起，深化函数知识的掌握

3方程与不等式问题处理关于方程根问题时，可将方程的根的问题转化为两个函数图像的交点问题；在处理不等式问题时，可分析其几何意义，联合相关函数，从题目的条件和结论出发，进行高效求解快速找到解决问题的思路，提高解题效率

4三角函数问题凭借单位圆或者三角函数图像，让三角函数的单调性，对称性，周期性一目了然，准确确定三角函数的单调区间，比较三角函数数值的大小降低求解难度，提高求解质量

5线性规划问题通过图形的分析，确立目标函数，在数形结合中解决问题简化计算

6数列问题将数列的通项公式以及前n项和公式均视为关于正整数n的函数，通过对函数图像的直观分析，把数列问题转换成函数问题来高效解决简化解题难度，拓展解题空间

7解析几何问题通过分析图像，了解几何的点、线、曲线的性质及它们之间的关系理清点、线、曲线之间的关系，提高解题效率

8立体几何问题对立体几何的点、线、面进行分析，将抽象的结合问题转换成纯粹的代数问题简化问题

二、以形助数，用形来解决数学中数的问题

在高中数学中，经常运用图形的方法来解题.而图形解题方法的关键是图形的构造，在对图形分析的时候就要抓住图形中一些关键的量以及它们之间的关系，然后通过巧妙的运用数学中的概念、式子规律去刻画它们内在的关系.图形解题方法一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题.例如通过图形可以很好地刻画相反数、函数的零点、函数的单调性等.在学习人教A版《必修一》1.1.3：《集合的基本运算》时，可以引导学生用韦恩图法解决集合的关系问题.一般，集合都是用圆来表示，有公交元素时则用两圆相交来表示，没有公共元素用两圆相离来表示.用韦恩图法就能够让学生很容易理解集合与求解之间的关系，以及集合与求解关系之间的问题.例：一个班共有48名学生，要求每一名学生都要参加一个活动小组，参加化学、物理、数学小组的人数分别是15、25、28同时参加化学、数学的是6人，同时参加物理、化学的是7人，那么同时参加数学、物理、化学的小组人数是多少？在解答这个数学问题的时候，教师可以在黑板上用圆A、B、C分别来代表参加数学、物理、化学小组的学生人数，然后用这三个圆共同的部分来表示同时参加数理化小组的学生人数.假设用N来表示集合的元素，那么就有N（A）+N（B）+N（C）-N（A∩B）-N（A∩C）-N（B∩C）+N（A∩B∩C）=48即28+25+15-8-6-7+N（A∩B∩C）=48所以N（A∩B∩C）=1，即同时参加数理化的同学只有一人.这样进行数形结合，通过图形来思考数，就将复杂问题简单化了，学生更容易理解题目，教师的教学也更加生动，学生的学习能力和解决问题的能力也在无形中提高着.

三、以数解形，用数来解决数学中形的问题

在高中数学教学中，经常会将几何问题转换成代数问题来讨论，教师将抽象的问题具体化的来讨论，这样便于学生对题目的理解，更能提高学生的解题能力，比如在引入三角函数的时候，就是用代数方法解决几何问题.在几何中也常用数量关系去研究图形位置.特别在立体几何的证明与求值上，通过引入空间直角坐标系，借助空间向量的运算，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算.例如在求直线与平面所成的角、二面角时，用传统的几何法找它们的平面角难度就比较大.而运用空间向量的法向量去求值就大大降低了难度.几何与代数有着密不可分的联系，通过数形结合的方法进行教学，解决数学问题，可以减轻学生学习知识的难度，提高学生学习的兴趣，使得学生可以更直观，更形象，更快速的学习高中数学.

四、把握题目条件和结论之间的关系，通过数形结合解决问题

在平常的教学活动中，教师要注意培养学生对问题的分析能力.通过数量与图形的结合，对问题所提出的条件和结论进行分析，更好掌握数形结合的应用.比如在学习必修五3.3.2《简单的线性规划问题》时，我们可以引导学生将二元一次不等式转换成平面区域，这样就可以将不等式的关系式转换成了平面的关系，把代数不等式问题转成了平面区域问题，导出我们的结论，从而解决问题.教师通过在平常教学的点滴渗透数形结合思想，使得学生在平时的学习中，养成看到数就能联想到形，看到形就联想到数的学习模式，自然使用数形结合的思想来解决问题，从而提高思维能力和学习效率

五、引导学生在直观中去理解数学概念，建构数学模型

在数学的教学实践中，教师可以就所给图形或者随机绘制图形来引导学生进行观察和研究，分析出图形中所蕴含的数量关系，教师通过图形的形象描绘，使得学生将形象思维与抽象思维进行有机的结合.教师这种形助数的教学，让学生学习化繁为简，由难变易.也便于学生对学习内容进行想象和分析，最终形成数学概念，用学生自己的思维方式记住和理解数学概念，在解答问题的时候更好的运用数学概念.这样潜在数形之间的关系教学，可以引导学生形成数形结合的去解决问题，学会将抽象的数学问题形象化，将一些难点、重点的学习知识，通过图形的结合方式来理解和记忆.这样数形结合的思想教学可以帮助学生构造数学模型，便于学生对数学的学习，提高学生的解题能力.

六、在教学活动中教师要借助多媒体技术实施数形的结合

目前我国普遍的数学教学都是比较枯燥乏味的，为了激发学生的学习兴趣，使课堂教学更加的生动和形象，也为了将高中数学中复杂，抽象的问题简单和形象化，教师可以将多媒体引进到平常的教学活动中来，通过计算机的计算，图形，图像等一些功能，为一些数学上的抽象思维模式提供直观的模型，使得数学概念更加的简单，明了.从而使学生更直接的去探索数学规律，提高学生学习的兴趣，提高他们思考和创新的能力.

在高中数学中数形结合方法是高常用教学方法，这是因为数形结合方法可以将数学问题更加的简单化和直观化，使得枯燥的数学学习变动生动了.这样的教学一方面有助于学生对数学知识的理解，在学生的脑海中形成了数学模型，便于学生对数学知识的记忆.另一方面，这样数形结合的教学，可以培养学生的思维能力.因此在高中的数学教学活动中，教师要积极的培养学生数形结合的学习能力，提高学生的个人能力，进一步提高教师的教学水平，为社会的发展提供优秀的人才.

【参考文献】

[1]尚文斌，聂亚琼.浅谈数形结合思想在高中数学中的应用[J].科教文汇，2008（34）.

[2]程华新.浅谈高中数学“数形结合”思想[J].中学生数理化（学研版），2011（3）.

[3]宋玉军.高中数学有效运用数形结合思想的教学研究[D].硕士，2010.