对一道高考题的推广

朱允洲

【摘要】2013年江苏一道高考题是关于函数y=1x（x>0）图像上一动点与直线y=x上的定点之间的距离的最小值问题，本文将函数y=1x（x>0）进行了推广，即介绍了双曲线、椭圆和抛物线上的动点P与其对称轴x轴上的点A（m，0）之间的距离|AP|的最小值问题，通过推导发现|AP|min随着m的变化而变化，点P的个数及其在圆锥曲线上的位置均与m的临界值（椭圆、双曲线是ce，抛物线是焦参数p）有关，推广了高考题中原有的相关结论.

【关键词】最小值；圆锥曲线；临界值

题1 （2013年高考江苏卷第13题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a0，a0），P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a0的所有值为.

文献指出了对题1“秒杀”结果的错误，并给出了改编题2，研究了|AP|min=AP0时点A在直线y=x上的位置.

题2 在平面直角坐标系xOy中，点A在直线y=x上，P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，直线y=x与函数y=1x（x>0）图像交于点P0，若对于直线y=x上任意点A，|AP|≥AP0恒成立，则点A横坐标的取值范围是.

笔者研读后发现，可将函数y=1x（x>0）推广到双曲线、椭圆、抛物线的方程，得到一般性的结论，供大家参考.

此时点P与M重合.

类似地，如果P为双曲线左支上一动点，由双曲线的对称性可得：

以上是对于点P仅在双曲线的单支上，当点A在x轴上移动时，|AP|的最小值及相应m的取值情况.

那么，对于点P在整个双曲线上，当点A在x轴上移动时，|AP|的最小值及相应m的取值情况要随P在双曲线的哪支上作相应的调整？P与A位于y轴的同侧，所以

推广2 在平面直角坐标系xOy中，P为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一动点，M1，M为左、右顶点，A（m，0）是x轴上任意一点，则|AP|的最小值及相应m的取值范围是：当m

设P（x，y），则AP2=（x-m）2+y2=（x-m）2+（1-x2a2）b2=e2（x-me2）2+（1-m2c2）b2.

①若-ce

（AP2）min-AM2=m2c2-1b2-（m-a）2=-1e2（m-ce）2<0（或（AP2）min-AM21=m2c2-1b2-（m+a）2=-1e2（m+ce）2<0），所以|AP|min=bcc2-m2，此时P点有两个：（me2，±b1-m2a2e4）.

②若m≥ce（或m≤-ce），即me2≥a（或me2≤-a），当x=a（或x=-a）时，（AP2）min=e2（±a-me2）2+m2b2c2-b2=（ma）2，故|AP|min=a-m=|AM|（或|AP|min=|a+m|=|AM1|），此时P与M（或M1）重合.

推广3 在平面直角坐标系xOy中，P为抛物线y2=2px（p>0）上一动点，O为顶点，A（m，0）是x轴上任意一点，则|AP|的最小值及相应m的取值范围是： 当m>p时，|AP|min=-p2+2pm；当m≤p时，|AP|min=m.

设P（x，y），则AP2=（x-m）2+y2=（x-m）2+2px=[x-（m-p）]2-p2+2pm.

①若m>p，即m-p>0，当x=m-p时，|AP|min=-p2+2pm，此时P点有两个：（m-p，±2p（m-p））.

②若m≤p，即m-p≤0，当x=0时，|AP|min=m，此时点P与点O重合.

【参考文献】

李培颖.一道2013年高考试题的“秒杀”引发的探究[J].数学通报，2013（3）.