数学解题中的“目标性”和“方向性”

钱进

数学解题是数学学习中的重要组成部分，其功能不仅能巩固所学的新知识、查缺补漏，而且能培养学生较强的逻辑推理能力.在教学过程中，经常发现学生在解题时找不到突破口，学生感觉题目所给的条件与所求解的问题“相距”太远，找不到它们之间的联系.造成这种结果的原因有很多，但我认为主要的原因是学生对所要求解的目标理解不是很透彻，如何实现目标感到迷茫，缺乏解题的方向性，导致思维受到了阻碍.即使有些题目最终也能做出来，却可能花费了大量的时间，这在高考中是致命的，也是不可取的.下面举例谈谈“目标性”和“方向性”在解题中的重要作用，以供参考.

例1 已知x，y，z∈R+，x-2y+3z=0，则y2xz的最小值是（ ）.

我曾经把该题作为课堂教学例题，但当时能做出来的学生却很少，学生反映出来的情况是：找不到x-2y+3z=0与y2xz的联系.以下是当时两名同学的解法.

学生甲：x-2y+3z=0x=2y-3z代入y2xz得y2（2y-3z）z，到此进行不下去……

学生乙：x-2y+3z=02y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz，到此也进行不下去……

如何思考这个题，从什么地方入手？关键问题是这个条件是x，y，z三个正数的一些代数和，要求解的是y2xz的最小值，而y2xz是一些数的乘积.如何实现从和转化为积？如何把条件中变量y的次方从一次升到二次？这就是解该题的目标和方向.虽然我们没有直接把x-2y+3z=0转化为y2xz的办法，但是我们有这样的关系，可以把和式转化为乘积式，即x+3z≥2x·3z（因为题中要变成xz的积式）.因此我们就得到该题的解题思路：

x-2y+3z=02y=x+3z≥2x·3zy≥3xz，两边平方得y2xz≥3（当x=y=3z时等号成立），所以y2xz的最小值是3.

我们回顾一下学生甲与学生乙的解题思路方向性是否正确.学生甲的解题方向有明显的失误，因为所要求的问题中x与z是一个整体，所以不能把它们分开；学生乙的方向虽然正确，但目标不是很明确，导致代入 y2xz后不知道如何进行下一步.其实学生乙把2y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz后，观察到分母是x与z的乘积，只需把分母的平方展开，利用均值不等式即可解决y2xz=（x+3z）24xz=x2+6xz+9z24xz≥6xz+6xz4xz=3（当x=y=3z时等号成立）.从该题看出解题时思考解题的方向性变得尤为重要，只要我们的目标明确、解题方向正确，理论上来讲都应该能把问题解决.

例2 已知α，β是锐角，且3sin2α+2sin2β=1 （1），3sin2α-2sin2β=0 （2）

求证：α+2β=π2.

错证 由α+2β=π2，得2β=π2-α，代入（2）得3sin2α-2cosα=0，即6sinαcosα-2cosα=0，因为α，β是锐角sinα=13，从而得到cos2β=13，所以sinβ=33，代入（1）成立，故命题得证.该证明犯了方向性不明确的错误，把结论当作条件来进行证明，没弄清楚目标是什么，导致证明方法错误.

证法1：把（1）中的sin2α转化为cos2α（sin2α=1-cos2α2），sin2β转化为cos2β（sin2β=1-cos2β2）与（2）联立，把角都统一成二倍角后再进行运算，最后再把2α转化为a，虽然得证但过程较复杂，主要是忽略了题目的目标性和方向性，因为结论里的角是α和2β，所以我们只要：（1）sin2β=1-cos2β2，而sin2α不进行变形；（2）sin2α=2sinαcosα，而sin2β不进行变形，即可得到以下简单的证法.

证法2：由（1）得3sin2α=cos2β，由（2）得6sinαcosα=2sin2β，

两式相除得tanα=tanπ2-2β，因为α，β是锐角α=π2-2β，即α+2β=π2，命题得证.

证法3：α，β是锐角0<α+2β<3π2，要证明α+2β=π2，只需证明cos（α+2β）=0即可.而cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β中，把由（1）得3sin2α=cos2β、由（2）得6sinαcosα=2sin2β代入即得cos（α+2β）=0.

通过以上几种证明方法的比较可以看出，问题的关键是把条件中的角2α转化为α，把角β转化为2β，因为我们的结论中的角只有α和2β，这就是该题的目标性和方向性.我们只要把握了正确的方向，多种解法只是本质的外在表现而已.

在解题中如何把握其目标性和方向性呢？我认为应注意以下几点：

1.学生必须有扎实的数学基础知识和掌握常见的数学思想方法，因为数学思想方法是解决数学问题的指路灯，解法只是实现目标的手段而已.

2.突出数学意识的培养，注重数学问题的背景.

3.培养学生平常养成仔细分析问题的条件与结论之间的内在联系的好习惯.

4.在课堂例题的讲解和习题课上，选好典型的题目来引导、分析其错在何处，思路间断是何原因等等.