数形结合思想在高中数学教学中的应用

丁然

【摘要】数形结合思想是中学数学中一种很重要的思想，本文主要通过对利用数形结合思想解决集合、函数、方程等几个典型例题的剖析，读者便会发现数形结合思想使得问题既降低了难度，又容易被理解.

【关键词】数形结合思想；应用；高中数学

高中作为数学学习的重要阶段，而高中生对于解题研究的理论上还是缺乏全面性、系统性和针对性.数形结合，能够加深对知识的理解，更加深刻认识问题的本质.每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的作用.数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想可以解决以下问题.

一、应用数形结合思想解决集合问题

例1 设A，B，I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是（ ）.

方法二 对这类全是字母描述的集合，我们可以在满足条件的前提下，设出具体的集合，用于判断选项的真假，令A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，检验四个选项可知，B错误.

方法三 利用韦恩图判定，先画出满足题意的韦恩图（如图所示），据图可知B错误.

解题总结：通过三种方法进行比较，不难发现，方法三利用数形结合作图，更为简单高效，教学中学生易于接受，方法一、二通过计算较为复杂.因此，在教学中，对于这种一题多解的情况，可以择优选择方法.

二、应用数形结合思想解决方程问题

解决此类问题，需要构造出函数，画出函数图像，找出交点的个数，即为原方程根的个数.

例2 方程sinx=lgx的实根的个数有（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个

解析 在同一平面直角坐标系函数y=sinx和y=lgx两图像，交点的个数即为原方程根的个数.

由图中可看出两函数图像有三个交点，此方程共有三个解.

答案：C.

注意：用此法时作图要精确，否则容易出现错误.

三、应用数形结合思想解决函数问题

在中学我们学习函数时，研究函数的性质——单调性、周期性、有界性、奇偶性等，函数的图像是我们研究中最感兴趣的部分之一，我们可以从直观的图形上认识函数的性质.从初中研究的一次函数、二次函数、反比例函数，到高中研究的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数时，都与图形结合到一起研究.

例3 已知二次函数f（x）=x2+x+a（a>0），若f（m）<0，则f（m+1）的值是（ ）.

A.0 B.符号与a有关

C.负数D.正数

分析 先求出函数f（x）=x2+x与x轴的交点坐标，确定小于零时的区间为（-1，0），区间长为1，而a>0，则f（x）图像由函数f（x）=x2+x向上平移，则f（x）<0的区间长会小于1，再由f（m）<0，得m+1一定超出了小于零的区间得到结论.

解 由f（x）=x2+x=0，解得x=0或x=-1，即两个零点之间的距离等于1.又因为a>0，所以f（x）图像由函数f（x）=x2+x图像向上平移，此时函数f（x）的两个零点之间的距离小于1.因为m+1-m=1，f（m）<0，

所以m+1一定超出了小于零的区间.

根据二次函数的图像可知f（m+1）为正数，

故选D.

总结：本题不仅需要对二次函数的性质能够灵活运用，而且能将抽象的函数关系与具体的图形性质密切联系起来进行探究.

最后，希望工作在一线的高中教师在不断提高专业知识水平的同时，也不断提高教学水平，让数学思想在高中数学的舞台上绽放出耀眼的光芒.

【参考文献】

[1]薛金星.高中数学基础知识手册[M].北京：北京教育出版社，2012.

[2]快乐考生·讲练测[M].北京：首都师范大学出版社，2013.