善辨异同，于细微处见真知

白建奇

【摘要】常用逻辑用语中的全称量词与存在量词在近年的高考中愈发受到重视，含有量词的题目不乏其数，而且常出现在解答题中.由于语言的特殊性，在理解上存在一定困难.特别是形式上相同，但语言或者符号上存在一定的差异的问题，常会因理解偏差导致错误.因此我们将对这类问题进行梳理和说明.

【关键词】全程量词；存在量词；恒成立；分离参数

在高中数学的题目中有许多只出现“任意”或者“存在”或者隐藏了量词的，这些题目若将量词还原了，都会含有全程量词和存在量词，下面就全程量词与存在量词相关的不等式问题转化成函数的最值问题加以说明，并通过例题对问题进行分析和梳理.

如问题：（1）若不等式x2+ax+1≥0在x∈0，12恒成立，求a的取值范围.

（2）若不等式x2+ax+1≥0在x∈0，12有解，求a的取值范围.

若将命题符号化：（1）x∈0，12，x2+ax+1≥0.（2）x∈0，12，x2+ax+1≥0.

全程量词与存在量词的不等式常见的转化策略：

（1）是否存在实数m，使不等式m+f（x）>0对x∈R恒成立？试说明理由；

（2）若存在一个实数x0，使不等式m-f（x0）>0成立，求实数m的取值范围.

分析 题（1）容易理解，形式上是一个全称命题，实质上是一个不等式恒成立问题！可运用函数思想，研究函数g（x）=m+f（x）在R上的最小值；也可以按照套路将不等式m+f（x）>0分离参数，转化为不等式m>-f（x）恒成立，即研究函数g（x）=-f（x）在R上的最大值.从中可以看出含有全称量词的问题，常常可以转化为恒成立问题，而这个同学们是非常熟悉的套路，常采用分离参数法转化为函数的最值问题加以研究.

然而（2）是一个特称命题.对于这类含存在量词的命题，理解上存在一定困难.老师可能会告诉你结论： x0∈R，m>f（x0）m>f（x）min.但是为什么呢？其实我们可以换个角度来理解，知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，从而获得一种思路：对于一个特称命题，先可对其否定，转化为全称命题，求出此时变量的范围，再求它的补集.

于是，（2）的否定形式为：对任意的实数x，不等式m-f（x）≤0成立，也转化成了恒成立问题，从而m≤f（x）min，注意到f（x）=（x-1）2+4≥4，于是m≤4，从而（2）的解为m>4.也就说明了“x0∈R，m>f（x0）m>f（x）min”的正确性.

例2 函数f（x）=x2，g（x）=12x-m.

（1）若对于任意x1∈-1，3，x2∈0，2，都有f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围；

（2）若对于任意x2∈0，2，总存在x1∈-1，3，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围.

分析 这两个题更为相似，极易出错.问题（1）是一个全称命题，可以像例1一样转化为不等式恒成立问题处理.注意到两个函数自变量不一样，因此“对任意x1∈-1，3，x2∈0，2，都有f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围”等价于“解含有参数m的不等式f（x）min≥g（x）max”，于是，只需f（0）≥g（0），从而m≥1为所求.

问题（2）中若按照上述方法去处理，那就错了.因为题中含有存在量词.类比例1的做法，可以先考虑将f（x1）视作具体的参数，这样就是例1中的（1），即只需f（x1）≥g（x）max；其次将g（x）max视作具体的数，研究存在x1∈-1，3使得f（x1）≥g（x）max成立，转化为例1中的（2），从而须且只需f（x）max≥g（x）max成立.也即f（3）≥g（0），于是m≥-8为所求.

从中我们可以发现，面对形同质不同的问题，要善于从已有的问题或者概念本身出发去加以辨析和研究，如此才能更准确地把握问题的内涵.

【参考文献】

[1]李俊.含有全称量词、存在量词的不等式成立问题的转化策略.中学数学（高中版·上半月），2012（9）.

[2]陈兰清.浅谈全称量词和存在量词的教学. 福建中学数学，2006（5）.