“一分都不能少”

伍亦亦

【摘要】分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一，突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题、解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.

【关键词】分类讨论；教学

虽然学生在初中数学的学习中，已经接触并运用这种思想，但针对高中数学学习的要求，还是不够的，需待进一步深入和提升.故教师在高一时若能引导学生理解、掌握分类讨论思想的精髓，对学生整个高中数学的学习及考试中能否取得理想的分数有着非常重要的作用.

片段一：高一教学“集合”

问题1：若集合A=x|ax2+2x+1=0只有一个元素，求实数a的值.

学情：学生们看到这个题目立刻进行思考和解答，过了不久，学生们陆续得出结果.

教师：请学生A回答.学生A：给出的结果为a=1.

教师：再追问学生A结果确定正确吗？学生A：非常肯定回答“确定”.

教师：再问全班同学，基本上都是表示同意.只有少数几名学生好像不同意.结果就请其中的一位即学生B回答.

学生B：给出的结果为a=1或a=0，并说明他解题的思路.

错因：为什么会出现不同的情况呢？原来条件中没有明确说明方程ax2+2x+1=0是二次方程还是一次方程，因此解题时应分一次方程和二次方程两种情况讨论.

正解 根据题意，当a=0时，方程为2x+1=0，所以x=-12，A=-12，满足题意.

当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则Δ=0，即22-4a=0，所以a=1.因此实数a的值为0或1.

点评：解此题学生考虑不全面，容易误将方程当作一元二次方程，造成漏解.

问题2：已知A={x|-1

RA，

求实数m的取值范围.

教师：让同学自己动手解题，邀请学生C上来板书，其结果如下：

解 由已知得，

RA={x|x≤-1或x>3}，而B

RA，所以可以得到1+3m≤-1或m>3，解得m≤-23或m>3.

教师：请其他学生主动为学生C的解答进行点评.

学生D：不完全同意学生C的解法，他指出主要问题出在未对集合B进行分类讨论而造成误解.

正解 因为B

RA，所以应分成如下两种情况：

当B=时，即m≥1+3m得m≤-12满足B

RA；

当B≠时使B

RA，即m<1+3m1+3m≤-1或m<1+3mm>3，解得m>3.

综上所述，m的取值范围是-∞，-12∪3，+∞.

点评：解此题学生容易考虑子集不全面，往往会忽略空集这种情况，结果造成漏解和误解.

自我反思：

通过上面教学片段的分享，我有如下几点的体会和反思.

1.如何真正巩固和落实分类讨论思想于学生的思维中，为其活用.首先教师要尊重学生思维发展的局限性和渐进性.教师需要通过一系列有难度梯度的题目反复对学生进行训练、引导和巩固.在过程里让学生多多自己动手做题，以获得更多的主观感受和经历.允许学生出错，但教师一定要及时且耐心地引导，使学生从本质认识问题的所在.

2.分类讨论思想的巩固一定要趁早.在高一的时候，教师就要在教学中潜移默化地引导学生了解、理解和掌握这种思想.帮助他们在解题的里面，真正达到“一分都不能少”的目标.