浅谈中学数学思维的培养

黄红玉

【摘要】现代数学教学理念认为，数学教学是数学思维过程的教学，是学生在高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得数学知识本质和规律的认识能力，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程.它有三个方面的本质特征：①逻辑性；②抽象性；③本质属性的准确把握.

【关键词】数学思维；类型；培养

《数学课程标准》强调数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习.现代数学教学理念认为，数学教学是数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是头脑中构建数学认知结构的过程.通过问题引导思维，多方面发展思维能力，是学好数学的关键，也是培养学生创新能力的重要途径.因此，在教学中教师要特别重视学生思维能力的培养.而所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力.数学思维若按性质特征划分，则有：（1）数学类比推理思维；（2）数学形象思维；（3）数学直觉思维；（4）数学逻辑思维；（5）数学猜想思维；（6）数学分类思想.

1.类比推理是根据两个研究对象具有某些相同的属性，推出当一个对象尚具有另外一个属性时，另一个对象也可能具有这一属性的思想方法，即从对某事物的认识推到对类似事物的认识.在数学教学中，可启发学生以知识的顺延、从属、引申、互进、相似等方面考虑和发掘类比因素.

如：德国数学家哥德巴赫运用类比的方法，对4=2+2，6=3+3，8=3+5……大量实例的考察，提出了著名的哥德巴赫猜想：“凡大于2的偶数，都可以表成两个素数之和.”

又如：立体几何中的台体侧面公式（*） S侧=12（c+c′）h′.

通过类比，柱、锥、台体的侧面积可全部统一为（*）式，因为锥体可视c=0，柱体可视c′=c，h′=h，旋转体可视h′为母线长，这对学生的学习十分有益.

2.数学形象思维是依靠形象材料的意识领会得到理解的思维.其中图式想象是以数学直感为基础，对数学图式表象加工与改造，它的特点是以框架结构作为形象思维材料进行分析思考.例：把复数1+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ化为三角形式，因为1=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ），因此就得简例解法：

原式=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ）+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ=（sinθ+icosθ）（1+sinθ-icosθ）1+sinθ-icosθ=sinθ+icosθ=cosπ2-θ+isinπ2-θ，本题使用“1”代换而得到解题的技巧.

3.数学直观思维是对运用有关知识系统和形象直感对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径.一般来说，类比能启发直觉，直观的背景材料也能激发直觉思维.

例如：在认识二次函数的图像时，可以放出篮球比赛中姚明或林书豪投篮情景的投影，马上激起学生的兴趣.再如：在教“统计初步”时，设计以下例子：在伦敦奥运会即将举行时，教练为了从甲乙两名运动员中选取一人代表国家参加射击比赛，甲乙两人在相同条件下各射击10次，成绩如下：

甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4

乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

怎样比较两人的成绩高低，选谁参加比赛？教练经过科学的数据处理，选出一名运动员参加比赛，取得了较好的成绩.他是怎样计算的呢？ 学生此时思维活跃起来，对探求新知识兴趣盎然，师生很顺利地完成此节内容，同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识.

4.数学逻辑思维的基本形式：概念、判断、推理和证明.数学证明是根据已确定其真实性的公理、定理、定义、公式性质等数学命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程.它由已知、求证、证明过程三部分组成，常用的方法有分析与综合法、反证法、穷举法、数学归纳法.

例：如果AD与BC是异面直线，

那么AB与CD是异面直线.

证明：（反证法）

如果AB与CD不是异面直线，

那么AB与CD或平行或相交，不论是那种情形，它们都在同一个平面内，即AB与CD都在同一个平面γ内，因此BC，AD都在平面γ内，即AD，BC不是异面直线，这与已知AD，BC是异面直线相矛盾.由此，AB与CD不是异面直线不正确，这就证明了AB与CD是异面直线.

5.数学猜想思维是对数学对象进行观察、分析、比较、类比、归纳等已有的知识作出推测性想象，它倾向于一种创造性的形象推理，而数学猜想往往随着类比、归纳的思维过程，对于培养学生的数学能力，开展智力，发展数学思维，有着重要意义.

例 勾股定理的猜想推广

6.数学分类思想就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中.需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的.例如：在学了有理数的有关概念之后对数的归类，要注意引导选择不同的标准进行分类.②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；例如：含绝对值的问题、一元二次方程根的问题.③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能.如动点问题.④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的.应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化.分类的过程，可培养学生思考的周密性、条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力.

总之，数学学习离不开思维，高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现.数学思维的表现要以数学结果的形式表达，数学探索需要通过思维来实现，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点.