谈数学教学中的发散思维能力的培养

谈锋

【摘要】培养学生发散思维能力是中学数学教学目的之一.在教学中，有意识地培养学生的发散性思维可以激发学生的学习兴趣和学习效率，也有助于培养开拓型现代人才.本文论述了培养学生发散性思维能力的意义，以及如何培养学生的发散性思维能力.

【关键词】发散思维；数学教学；能力培养

发散性思维是不依常规，寻求变异，对给出的材料，信息从不同角度，向不同方向，用不同方法或途径去分析和解决问题的一种思维方式.长期以来，中学数学教学以集中思维为主要的思维方式，课本上的题目和材料的呈现过程大都循着一个模式，学生习惯于按照书上写的与教师的方式去思考问题，用符合常规的思路和方法解决问题，这对于基础知识、基本技能的掌握是必要的，但对于数学兴趣的激发、智力能力的发展是不够的，因此，在数学教学中教师要有意识地培养学生的发散性思维能力.

一、培养学生发散性思维能力的意义

（一）培养学生发散性思维能力是提高学生学习积极性的有效措施

传统的数学教学往往只重视对学生集中思维的训练，即教师要求学生用学到的数学知识，用教过的方法来解决同一类问题，以达到熟练掌握的程度.这种思维训练对于夯实学生基础知识非常重要，但往往缺乏独创性，结果缺少新鲜感，过多地约束了学生的思维，一般说来学生对此兴趣不大，回味不浓，不会产生新的思维成果.而我们在教学中如果让学生多考虑一些方法灵活多样或答案不唯一的发散性问题，并在教师指导下做一些探究实验和民主讨论，使学生在解决问题的过程中得到一些意外的收获，那么就会使所学的数学知识“活起来”，解决问题的方法多起来，使学生真正领悟到主动学习的愉悦，有利于发展学生的直觉思维，培养他们的参与意识，从而提高学习数学的积极性.

（二）培养学生发散性思维能力是提高学生解决问题能力的重要手段

初中数学新大纲指出：“初中数学中要培养的创新意识主要是指对自然界和社会中的现象具有好奇心，不断追求新知、独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决.”这段话告诉我们：数学教学的目的不仅仅是要求学生会解决问题，还要鼓励学生的好奇心，教会学生发散性地“从数学的角度发现和提出问题”，而对数学问题的探索、研究、解决的过程首先是一个发散的酝酿多种方案的过程，然后才是从中比较优劣，确定最佳解决方案的过程，是发散和集中的有机组合.只要教师鼓励学生多动脑筋，大胆质疑，不断加以探索和研究，就会发现更多更新的未知世界，思维能力在提出问题和解决问题的过程中得到更快地发展.

（三）培养学生发散性思维能力是提高学生创造性能力的根本保证

我国著名数学家徐利治先生说过：“任何一位科学家的创造能力，可用如下公式来估计：创造能力=知识量×发散思维能力.”美国心理学家吉尔密特也认为：发散思维是从所给的信息中产生信息，其着重点是从同一来源中产生各种各样的为数众多的输出，并且发生转移作用.这两种观点从不同侧面说明了同一个问题：发散性思维的优劣是决定学生创造性能力大小的重要因素.教师在数学教学过程中对学生的思考方向进行适当的引导，使他们从不同的角度、不同的方向来寻求多种解决问题的方法，对于提高学生的创造性能力有很大的作用.可见，学生的创造性能力不是遥不可及的本领，只要我们在使学生掌握扎实的数学知识的同时，放大胆子让学生进行发散性的思考和训练，大多学生的创造性能力就会得到不同程度的提高.

总之，发散思维是多方向性和开放性的思维方式，它同单一、刻板和封闭的思维方式相对立.它承认事物的复杂性、多样性和生动性，在联系和发展中把握事物.发散性思维仿佛具有众多条的“触角”，不拘泥于一个方向、一个框架而向四面八方延伸，可使学生的思维纵横交错，构成丰富多彩的、生动的“意识之网，而这张网可以迅速、灵活地‘编出多种多样的”意识产品.那么如何培养学生的发散性思维能力呢？

二、培养学生的发散性思维能力的基本途径

在数学教学中，培养学生的能力主要是对发散性教学问题的讨论.发散性数学问题，就是问题的条件或结论是不完整的或解题方法是不确定的有关问题.

（一）对问题的条件进行发散

数学教学中，经常会碰到某一类问题，当已知条件变化时，解决问题的角度、方法也会跟着变化.可以通过引导学生变化已知条件，去训练学生的发散性思维.

例 6本不同的书，试给出适当的条件，确定排法的种数.

学生在拿到这个题目后，讨论会很热烈，思维会很活跃，试着从各个不同角度去解决问题.比如：

（二）对问题的结论进行发散

数学中的有些问题，在确定了已知条件后，没有固定的结论.可让学生根据已知条件，尽可能多地得出各种不同的结论.例如，在学完数列后，问学生： 数列3，3，3，3，……是什么数列？

学生就会对所学的数列知识进行回顾，陆续会做下列回答：

a.常数列 b.无穷数列 c.公差为0的等差数列

d.公比为1的等比数列 e.有界数列 f.通项公式为an=3的数列

结论的发散有利于增加思维的广度和深度，否则思维会缠绕在“一棵树”上，无法散开.

（三）对图形进行发散

图形的发散是指图形中某些元素的条件不断变化，从而产生一系列的新图形.

例如，在双曲线概念的教学中，给出双曲线的定义“平面内到两定点F1 ，F2 的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2| ）的点的轨迹叫作双曲线”以后，通过演示实验，做如下启发、引申：

（1）将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余不变，点的轨迹是什么？（两条射线）

（2）将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余不变，点的轨迹是什么？（轨迹不存在）

（3）去掉绝对值，其余不变，点的轨迹是什么？ （只有一条）

（4）若令常数为零，其余不变，点的轨迹是什么？ （线段F1F2的中垂线）

了解几何图形的演变过程，不仅可以举一反三，触类旁通，还可以通过演变过程了解它们之间的区别和联系，从而开拓了学生的发散性思维.

（四）对解法进行发散

解法的发散即一题多解，就是同一题目，尽可能考虑多种不同的解法.教师平时在教学中要重视对学生进行一题多解的训练，教会学生多途径、多角度去分析问题，灵活运用已有的知识技能，找出尽可能新、尽可能多、尽可能好的解题方法，这样，既可帮助学生总结解题规律，达到对知识的融会贯通，又可发展其发散性思维.

这些方法不但使学生掌握了无理不等式解法，而且帮助学生复习了集合，还应用了换元法.解法中具有大量信息，知识覆盖广，活跃了学生思维.

三、培养学生发散性思维能力的主要方法

（一）利用类比进行发散

所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，借以推测与其类似的事物也可能具有这种属性的一种推理方法，它常称为类比推理，是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性，是否正确需要经过严格的证明或者实践检验.

在数学教材中，存在着并列关系的两个数学对象，它们之间，无论是数学内容和教材处理都很相似.如等差数列和等比数列，它们的性质、重要结论有许多可以类比的地方.因此，在等比数列的教学中，不需要像等差数列那样重新开始，而可以启发学生对照等差数列的概念、公式和性质类比到等比数列中来，从而独立自主地获得知识.

教师不仅要在教学上运用类比推理，还要创造条件，让学生自己去学会类比，并在积极的参与中发掘拓展自己的潜能.可以设计以下几个教学环节： 一是设计类比表格，把两个对象可以类比的项目列出来，帮助学生在阅读中进行比较；二是指导学生阅读，在阅读中填写类比表格；三是组织学生进行讨论，交流阅读心得和类比表，教师及时给予指导；四是通过练习，让学生体会类比在解决数学问题中的作用.

（二）利用联想进行发散

联想，是类比的进一步展开，是根据命题的具体情况，联系有关的定义和规律，或联系已经证明过的命题、证题的某些技巧与模式等，从而获得解决问题的方法.

就数学来说，其概念、命题之间存在着各种各样的联系： 既有本质的也有现象的，既有纵向的也有横向的，等等.数学对象的种种联系的内化，是数学联想方法的客观基础.正是由于这些联系，使得人们能够通过联想方法达到对事物由此及彼的认识和把握.

在数学教学中，应注意引导学生多思多想，独立地思考、分析问题，改变思维保守、封闭的状态.例如，在求函数的最大、最小值时，可引导学生注意联想下列一些方法： a.利用配方法；b.利用二次方程的判别式；c.利用三角函数的有界性；d.利用基本不等式；e.利用导数；等等.

数学的各个部分，在内容和方法上，是相互渗透、密切相关的.因此在运用知识解决问题时，既要注意横向联系，又要注意纵向联系，达到思维的流畅.

（三）利用归纳猜想进行发散

归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而导出一个一般性结论的方法，是一种从特殊到一般的推理方法.

猜想，是带有想象成分的预测，是指以某些已知的事实和一定的经验为依据，对问题作出推测性的判断.

猜想既不同于已被实践证明了的科学结论，也不同于毫无根据的胡猜乱想.猜想具有两个显著的特点： （1）具有一定的科学性； （2）具有一定的推测性.结论可能正确也可能错误.欲断定猜想得到的结论正确，必须经过严格的演绎证明； 欲否定猜想得到的结论，举出一个反例即可.

人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想.

数学中的很多定理、法则、公式等，基本上是由对特例的观察、研究、分析开始，继而归纳猜想出一般结论，最终用演绎法或数学归纳法给出严格的证明.归纳猜想具有很大的创造性，其创造性不仅表现在由经验材料上升到一般原理，而且对于从范围较窄的一般原理上升到更为普遍的一般原理也具有一定的作用.在教学中，应结合教学内容鼓励学生大胆归纳猜想，引导学生通过猜想去探索数学规律，去发现解决问题的方法.

综上所述，通过对条件、结论、图形、解法等方面进行发散，并借助类比、联想、归纳猜想等训练发散性思维的方法，激发灵感的火花，从而拓展了学生的发散性思维，增长了他们的创新能力.

【参考文献】

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