数形融合 梯度深化 创新方法 思想升华

刘英英

【摘要】函数、方程、不等式是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，它蕴含着丰富的数学思想和方法.通过对“三个一次”“三个二次”的对比分析，构建知识体系，关注内在联系，迁移创造，数形结合，梯度深化.

【关键词】函数；方程；不等式；数形结合；数学思想

千变万化的现实世界中蕴藏着各种各样的客观规律，这些规律可以用“数”（函数、方程、不等式）来描述，也可以借助“形”来呈现.函数、方程、不等式是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，它蕴含着丰富的数学思想和方法.函数、不等式、方程它们是动与静的关系，是变量与常量的关系，静是点，动是线，常量是变量的瞬间.在变化中，在规律中，在动静之中函数、方程、不等式既各自独立又相互联系，共同组成了“数与代数”的核心内容.

一、依课标，现体系，乍现数形结合

（一）课程标准（7～9年级）学段目标

1.知识技能：体验从具体情景中抽象出数学符号的过程，掌握方程、不等式、函数进行表述的方法；

2.数学思考：通过用方程、不等式、函数表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识；

3.问题解决：经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法；

4.情感态度：在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值.

（二）北师大版教材对于“方程、不等式、函数”内容的编排如下

通过7～9年级学习目标和课程内容编排可以看出：教材内容螺旋上升，逐步深化，同一类问题从不同角度理解分析，实现了从“四基”到“四力”（四基：基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本活动经验，四力：提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力），实现了从初步感知→ 联系实际→ 梯度深化→ 寻求关联→构建体系→探寻本质.在学习递进中，数学思想方法的教学呈阶梯式层次结构：二、借一次，分层次，初论以数解形

案例1 一次函数y=2x+5，当x取何值y>0，y=0，y<0？（北师大版八年级下册课本习题）学生已经学习了一次函数和一元一次不等式，能够用“数”和“形”两种方式来解决，通过列表、描点、连线画出函数图像，体会静态点、动态线（点动成线），线是点的集合的思想，方程与函数的动静变化跃然纸上.

通过三个一次的对比使学生经历了“从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象”的递进过程，体会分类讨论、数形结合的思想和方法，体验到回归“基本概念、基本性质、基本算理”的解题通法.

三、用二次，渐深化，再论以形助数

案例2 在二次函数的学习中，课本仅涉及了二次函数与一元二次方程之间的转化，学生虽没有接触过一元二次不等式，但能否类比“三个一次”的问题，“以形助数、以数验形”丰富解决问题的策略，发展思维深度，引导学生感受数学的通法.

1.基本题型

二次函数：y=x2-2x-3 当x取何值y>0 y=0 y<0

数：一元二次方程

因式分解法——有理数乘法法则、因式分解.

对比两种解法，入手点虽有不同但殊途同归，都达到了降次转化的目的，两种解法类比一元二次方程的解法去解一元二次不等式，达到了方法的正向迁移，两种解法提取的知识储备略有差异，但都回归到了基本法则、基本概念、基本性质通法.

2.特殊到一般

3.归纳总结，抽象概括

在构建数学知识体系时，首先要关注问题的内在联系，把握知识的梯度和整体的规律，优化组织架构，探寻问题本质，将零碎的知识有机融合.

四、揽全局，寻通法，数学思想渐升华

数学思想方法是数学的灵魂，思想有角度、有深度、有生命，知识可以用文字陈述并掌握.而深邃的思想则要通过数学符号化的过程来获得.数学思想蕴含

于数学内容中，坐标系蕴含数形结合、方程函数蕴含模型思想、函数图像蕴含运动变化思想、方程不等式蕴含化归思想.

在三个一次与三个二次的对比归纳中，在数形共同分析、解决问题的过程中，对比优势，体会“数”“形”二者之间的互补作用，突出特殊的转化作用，从整体上认识函数的本质属性，“数形迁移、动静转换”.在运用“配方法”“因式分解法”解一元二次不等式中，通过降次化繁为简、化生为熟、化未知为已知，新旧知识在此“血脉相承”.

通过将教材不同层级的内容——“三个一次”与“三个二次”的类比、抽象、深化，加强同类知识之间的横向与纵向的联系.从函数的角度对方程和不等式重新进行分析，引导学生关注函数的本质，渗透“运动变化和联系对应”，将“”

三个数学对象融为一体，统一认识，“见树木更见森林”，在更高的起点上对函数、方程、不等式进行动态分析，从而达到知识的融会贯通.在构建知识体系的过程中，渗透函数的统率作用，帮助学生逐步形成认识、分析问题时“先从特殊对象切入，再拓展推广到一般”的策略，提高多角度、灵活分析和解决问题的能力.

通过“三个一次”“三个二次”的对比，构建知识体系，关注内在联系，通过类比解决一元二次不等式的新问题，学生调动知识储备去感悟通则，解题通法由此生成.学生在迁移创造的过程中实现了元认知，既体现了其形成的有形过程，又经历了无形的数学创造性文化的熏陶过程，在这个过程中，知识的种子生根、发芽，数学知识在融合中创新，数学方法在创新中发展，数学思想在发展中升华.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）.

[2]陈中锋，游建平.关注课标变化，领会精神内涵.[J].中学数学教育，2013，1-2.

[3]邓昌滨. 基于“四个关注”，凸显主体教学[J].中学数学，2014（3）.

[4]吴雅琴.三个二次之间的关系[J].理科考试研究，2014（2）.