探索，让复习课堂更加精彩

骆迎生

【摘要】 平行线的性质学生比较熟悉，但是构造条件利用性质学生普遍感到棘手，辅助线的添加便尤为重要. 在短暂的一节课中，在教师的引领启发下，学生们对一道题目展示了各种精彩解法，体现了数学思维的魅力.

【关键词】 平行线；截线；内角和；外角和；辅助线

苏科版七年级《数学》下册第一章的内容是“平面图形的认识（二）”，涉及的知识点非常丰富，其中主要有直线平行的条件与平行线的性质，三角形边角关系及三个内角定理，多边形的内角和、外角和公式. 教材中均设置观察、操作、想象、说理等探索活动，注重学生的自主学习，自主探索，归纳建构自己的认识. 笔者在复习本章时，通过引导学生探索一道典型几何题解法，上了一堂精彩的复习课.

例题：如图 ，AB∥CD，探索∠B，∠D，∠E三个角之间的关系.

分析：本题中给出的条件只有AB∥CD，可以得到什么结论呢？

学生自然想到了两直线平行的性质，可以得到角之间的关系，诸如同位角（或内错角）相等或同旁内角互补，可是要构成这几种类型的角，需两平行线被第三条直线所截. 本题目正缺少这样的一条直线，如何构造？

经教师启发，学生已有所悟，一些学生跃跃欲试，纷纷举手.

方法一：作一直线分别与AB交于M，与CD交于N，则B，E，D，N，M五点便围成了一个五边形，由多边形内角和知：

∠B + ∠E + ∠D + ∠MND + ∠BMN = 180° × （5 - 2） = 540°.

又∵AB∥CD，

∴ ∠BMN + ∠MND = 180°.

∴ ∠B + ∠E + ∠D = 540° - 180° = 360°.

这是很聪明的一名学生提供的方法. 为了利用平行线的性质，作了一条辅助线与两条平行线相截，还综合运用了多边形内角和知识，而且得出了∠B，∠E，∠D三个角之间的关系是和为360°.

方法二：在AB上任取一点M，连接MD.

∵ AB∥CD，

∴∠1 = ∠2.

∵ ∠B + ∠E + ∠3 + ∠2 = 360°，

（四边形的内角和为360°），

∴ ∠B + ∠E + ∠3 + ∠1 = 360°，

即∠B + ∠E + ∠EDC = 360°.

第二名学生的方法似乎也不错，他把三个角分成了四个角，而这四个角恰恰可转化为四边形的四个内角. 同时AB与CD两条平行线刚好被MD所截，又可以利用AB∥CD这一条件了.

教师总结了这两种方法，指出他们都巧妙地添加了一根辅助线，即两平行线的截线，充分利用了平行条件. 体现了同学们综合运用所学知识的能力.

方法三：连接BD. ∵AB∥CD，

∴ ∠ABD + ∠BDC = 180°.

∵∠EBD + ∠E + ∠EDB = 180°，

∴∠ABE + ∠E + ∠EDC=180° + 180° = 360°.

第三名同学提出的方法更加简单，通过连接BD，它既与平行线AB，CD相截又能利用三角形的内角和，很容易得出这三个角的和是360°.

方法四：延长DE交直线AB的延长线于F.

∵ AB∥CD，

∴ ∠D = ∠DFH，

∠ABE + ∠HFD + ∠BED = 360°，

（三角形的外角和为360°）.

∴ ∠ABE + ∠BED + ∠D = 360°.

不得不承认，学生作的这条辅助线就更巧妙了，需要探索的三个角刚好变成了三角形的三个外角了.

教师再次评价：前面几名同学的发言中，都紧紧围绕两直线被第三直线所截形成的角之间的关系这一知识点进行思考的，还借助了多边形的内角和公式知识. 但有关平行线的性质与判定中还有没有与 “三线八角”相关的结论呢？

方法五：过点E作直线EF，使EF∥AB.

∵ EF∥AB且AB∥CD，

∴ AB∥CD∥EF，

（平行于同一条直线的两直线互相平行）.

∴∠B + ∠BEF = 180°，∠FED + ∠D = 180°.

∴∠B + ∠BED + ∠D = 360°.

该同学提出的解法思路是全新的，很有创造性，全班学生都露出惊奇的神情，发言的同学也感到异常兴奋.

方法六：过点E作直线EF，如图.

∵ EF∥AB 且AB∥CD，

∴ AB∥CD∥EF，

（平行于同一条直线的两直线互相平行）.

∴∠B = ∠BEF，∠D = ∠FED.

∴∠B + ∠BED + ∠D = ∠BEF + ∠BED + ∠FED = 360°.

学生评价：第五种解法和第六种解法思路是相同的，只是前一种用的是二直线平行同旁内角互补这一性质，而后一种方法则用的是二直线平行内错角相等这一性质来证明的.

又一学生评价：前面四种解法也有相同的地方，都可以看作是用一条直线去截两条平行的直线，就截出了一个五边形. 当N点与D点重合时，截出的是一个四边形，这时当M点与B点重合时，截出的是一个三角形；当MN与DE重合时，截出的也是一个三角形. 所以，这几种解法本质上是相同的.

教师评价：同学们能以动态的眼光看问题，那么一定能达到举一反三、触类旁通的境界.

不知不觉中，一堂精彩的复习课就这样过去了，师生均沉浸在成功的喜悦之中. 通过一题多解与一题多变训练，使学生在复习中探索，在探索中提高，在提高中升华.