二次函数图像与性质的建构性教学初探

陆兰兰

【摘要】二次函数是初中数学函数教学的核心，而二次函数的图像和性质又是二次函数教学的关键，新课程理念指导下的本节教学立足学生的亲身探索和实践，并在一定的探索下得到相关知识.

【关键词】 二次函数；初中数学；图像；性质；数学思想

二次函数是初中函数教学的核心，其将初中函数从一味的线性状态提升到了曲线的状态.如何将二次函数可以较为形象化地传授给学生呢？笔者认为，对其图像与性质的教学设计是关键，这里不仅要有较为合理的探究、建构设计，还要努力开发学生积极地参与，紧紧抓住函数最形象的部分——图像，才能将初中数学中最困难的一种函数讲授得深入人心.

1. 背 景

从课程标准来说，初中数学要致力于改变学生被动学习的陋习，努力营造学生探求知识的氛围.因此，二次函数图像与性质一课的设计，以学生学习知识的心理机制设计，通过从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的设计规律，结合启发式教学和建构式教学的理念进行教学设计.

从知识结构来说，二次函数为何如此重要？因为它联系着函数从直向曲的变化，颠覆了学生对线性函数之外的认知，从生活实践来说，二次函数模型还有着很多利润最大的生活运用实践，它与学生学习过的二次方程和以后涉及的二次不等式，都有着桥梁般的紧密联系.通过学习二次函数，学生对二次方程有了更清晰的认知，体现了函数与方程的数学思想、数形结合的数学思想，为以后进一步学习更深层次的函数奠定了一些思想方法基础和研究问题的经验.

2. 设 计

2.1 情境引入

师：同学们，我们学习过一次函数，我请大家回顾一下一次函数的图像，并通过图像小结一次函数的性质.

生：一次函数分为k > 0和k < 0两种，其图像为上升和下降两种.

师：我们通过什么样的方法得到了一次函数的图像呢？

生：描点法.

师：好，今天我们将学习一种新的函数，请大家类比一次函数图像得到的方法，画一画学案中的二次函数y = x2，我请两位同学上黑板来画一画，其余同学画在学案上.

设计说明：通过复习引导，带来学生回顾一次函数图像的形成过程，并利用类比思想指导学生对抛物线y = x2进行尝试，请学生动手，让学生对抛物线的形态有一个清晰的认识.

2.2 探求新知

师：我们看看两名同学在黑板上的图像，正确吗？

生：好像都不太正确.甲同学他把描点之后的点与点之间用直线联起来了，和我的不一样.乙同学，只选了一些自变量为正数的点坐标，图像只分布在第一象限，似乎有些欠缺.

师：这名同学分析得非常好.甲同学描点非常好，最大的弊端在于它选择的点坐标都是整数，导致其认为这些点之间是线段连接，若我们在整数间再多选择一些点画一画，你会发现函数y = x2的图像不应该是直线；乙同学的图像只作出了y轴右侧的图像，对自变量的选择上过于缺失，因此两位同学都没有完全作出该函数的图像.（将正确的图像进行PPT或几何画板演示）

设计意图：通过学生积极参与板演，使其了解最基本的二次函数y = x2.并指导学生，在画非线性函数时，多取一些自变量，使学生能够尽可能的对图形有整体的把握，并指出这些基本初等函数在绘制时，一定要注意曲线的光滑性.

师：同学们，再试一试y = -x2的图像呢？

设计意图：学生通过类比，迅速得到该函数的图像.让学生初步感受二次项系数对二次函数张口的影响.

师：好，接下来请同学们互相给同桌出一个二次函数，请对方来画一画你编制的函数.

设计意图：通过学生建构，调动了课堂的气氛、积极性，也提高了学生思维的主动性.

师：好，同学们给对方编制的函数都很有难度.（投影）有些同学甚至编制出函数y = x2 - 2x + 1，y = -x2 - 3x + 4等等，都比老师刚刚的问题要复杂，但我们的同学都很清楚的将图像作出来了，这种函数我们给它一个科学的定义，叫二次函数：二次函数分为开口向上和向下两种，它的基本解析式为y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），同学们已经画出了一些相关的图像，我们接下来重点研究下它的性质.我们以二次函数y = x2，y = 2x2，y = -x2，y = -2x2为例，一起来研究.请同学们在同一坐标系下画一画上述几个函数图像.

设计意图：继续尊崇初中生知识认知的心理机制，从特殊到一般、从形象到抽象的认知特点.

师：观察这四个函数图像，你发现了些什么？

生：这四个函数都是二次函数，它们的图像都是抛物线，而且都关于y轴对称，四个函数图像有一个公共定点，即坐标原点.二次项系数为正数时，抛物线开口向上，反之则向下.

师：很好！这位同学对图像的观察很仔细.那么，结合上述的分析，你怎么认识这个二次函数呢？y = ax2（a ≠ 0）.

生：这个应该和上面的是一样的，a > 0时，抛物线开口向上，图像关于y轴对称，有一个顶点是（0，0）；当a < 0时，抛物线开口向下，图像关于y轴对称，它的顶点也是（0，0）.

师：通过类比学习，我们掌握了y = ax2（a ≠ 0）的图像基本形态，也通过图像对其基本性质有了一些初步的认识.那么，对于一般的二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的认识，我们将在后续知识继续学习.请同学看一看下面练习：

（1）函数y = （m - 3）x■是二次函数，求m的值；（2）二次函数y = ax2（a ≠ 0），当a = 5，x = 3时，求y的值.

2.3 课堂小结

（1）力主通过大量学生自主作图，对二次函数y = ax2（a ≠ 0）有基本的认知.

（2）在教学中始终以建构式为主导、以启发式为辅助进行本课的设计安排.

（3）在教学中渗透了数形结合思想、分类讨论思想，培养学生的数学思想.

3. 尾 声

本课，笔者对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的.通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图像的性质，借助直观图像的性质而得到二次函数的性质.

从时间角度而言，学生探究花去了一些时间，但从知识吸收的效果来说，自主实践探究图像远比教师直接投影来得优异.因此，笔者认为教师要合理对概念起始课进行合理的开发，做合适自己学生学情的设计，做到有的放矢，并创造性地使用数学教材，才是有效、高效的.用华东师大汪晓琴教授的话说，即优秀的教师在于将线性的文字合理地教授给学生，通俗易懂、深入浅出，这样的课堂设计才是成功的.