探析高等代数与解析几何之合并设课

程新珠　刘莉

【摘要】随着现代数学的发展，高等代数与解析几何这两门学科相互融合已成必然.同时，由于现代教育技术的发展影响了人们的观念，原有教材内容已不能适应现代数学理论的发展，课程和教材的改革，相应的教学方法和手段也得到不断的认识和改进，因此，对高等代数与解析几何这两门数学基础课程进行课程内容与体系的整合已成为可能.

【关键词】高等代数；解析几何；合并设课

中央广播电视大学本科数学专业开设的课程中，有《高等代数专题研究》和《几何基础》这两门学科.从内容编排上来看，高等代数包括代数运算与数学归纳法、多项式理论、线性空间、线性变换、欧几里得空间、双线性函数和二次型.编者在前言中说：“二次型理论部分，编写了二次曲线的化简，力求给读者一个清晰的数学分类的思想及高等代数在几何方面应用的范例.”而《几何基础》中编排了向量及其运算、向量运算的代数表达形式、射影几何、二次曲线等.编者说“学习本书所需的基础知识是数学分析、高等代数，特别是解析几何.”由此看出，这两门课程关系密不可分，且部分内容重叠.由于现代教育技术的发展影响了人们的观念，原有教材内容已不能适应现代数学理论的发展，课程和教材的改革，相应的教学方法和手段也得到不断的认识和改进，因此，对高等代数与解析几何这两门数学基础课程进行课程内容与体系的整合已成为可能.随着现代科学技术的迅猛发展，课程改革作为教育改革的核心环节和教育改革深化的标志，在世界范围内得到广泛的关注和前所未有的重视.高等代数与解析几何作为传统“三基”模式下的二门课程，关系非常密切，几何与代数互为问题、互为方法、互相交融，因而对其进行合理的整合不仅必要而且切实可行.作者通过探讨高等代数与解析几何合并教学以后教学内容的相互协调性、教学手段的合理性，从而说明高等代数与解析几何这两门学科相互融合已成必然.

一、高等代数与解析几何的内容及相互关系

线性代数是高等代数的主要内容，具有深刻的幾何背景.而解析几何则是用代数方法研究空间的几何问题.因此把高等代数与解析几何合并成一门课具有其内在的合理性.总的来说，解析几何是以高等代数为主要研究工具的几何学，没有高等代数这个主要工具，就没有解析几何，而解析几何又反过来为高等代数提供了几何背景、解释和研究课题，促进代数的发展，因此，把它们结合起来作为统一的课程是有必要的，也是十分有益的.

从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的.它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”.前一句话是明显的事实，代数的发展确实可以帮助解决许多几何问题，而后一句话更重要，甚至可以改为“代数要在几何中寻找直观”，以强调几何对代数发展的促进作用.有很多具体的实例支持这个观点.从内容的联系来看，两门课之间存在着工具与对象的联系.解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的.例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述；又如，解析几何中向量的外积（即向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例.高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义.例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型.从概念的内涵和外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）.由此看出两课合并有利于“数”与“形”的结合.从数学思想方法来看，两门课具有统一性.

二、高等代数与解析几何一体化教学内容的协调

高等代数的教学内容主要有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、线性变换、欧式空间、二次型.解析几何主要研究二维实空间中的直线与二次曲线、三维实空间中的平面与二次曲面、空间曲线和空间曲面的位置关系、平移变换和旋转变换.由此可以看出，两门课程的内容重复之处较多，而这种重复基本上是一般与特殊的关系.因此从学生的认知角度来看，两门课程合并能让学生在具体的几何背景下更直观地接受数学思想与方法，能充分地发挥两门课内容的互补作用，符合“数”与“形”结合的认知规律，几何学的讨论给代数学提出了相关问题，而代数学研究的结果又可应用到几何学中去，它们互为问题、互为方法、相互交融，在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助几何设计等技术都以几何与线性代数为其理论基础，几何问题的代数化处理、代数问题的可视化处理，代数与几何更显得相互渗透、密不可分.根据高等代数与解析几何的密切关系，首先应介绍代数方法，然后用它去解决一些问题，最后用代数方法讨论一般的几何问题，这样既可以轻松地完成解决几何的教学和学习，同时学生也体会了代数的妙处，加深了对代数的理解.

三、合并设课符合基础教育改革的发展要求

随着高等教育改革步伐的加大和加快，对人才的培养越来越强调应用性和综合素质的提高，让学生掌握系统的基础理论知识，必然要进行教学改革.数学教师的综合素质与新课程实施的严重不适应已经成为当前基础教育改革的主要问题，也是数学教育改革成败的关键问题.如何改革高校数学教育专业的课程设置，转变培养模式来提高师生综合素质已迫在眉睫.一方面，从中学数学基础教育改革的理念“体现有价值的数学，现实生活中的数学，以及改革数学教师教学方式与学生学习方式”来看，对教师数学知识的要求也与过去发生了很大的变化，更强调对数学思想、数学研究方法的理解，更注重对数学公式、定理、概念来龙去脉的推理.高等代数与解析几何两门课程的结合无论从内容上还是从方法上都顺应这种要求；另一方面从数学教师专业化的要求来看，教师专业的特殊能力之一是教学技能的训练与培养.据有关专家认为可将教材教法、微格教学、计算机辅助教学融为一门课，以适应现代教育教学的要求.由于高等代数是一门抽象性很强的课程，而解析几何却非常直观，那么就可以充分利用此特点借助计算机多媒体教学以展示两者的融合，这样，既可以提高教学效益，又能充分体现学生由被动学习转变为主动学习的教学新理念.

四、合并设课的尝试

武汉理工大学于2000年开始招收信息与计算专业学生.该专业是数学学科的一个方向，基础课有数学分析、高等代数与解析几何.这是该校第一次将高等代数与解析几何合为一门课程，经认真研讨后，制订了教学大纲并选定孟道骥《高等代数与几何》作为教材，并确立了课堂讲授的几个准则：一是注意与实际应用相结合；二是解析几何内容可作适当补充并部分提前讲授；三是要讲思想精髓，对教材内容要作取舍.这些准则，从以后的教学实践看，奠定了讲好该课程的基础.

经过高等代数与解析几何合并为一门课的教学实践，教者的体会是：第一，教师要树立教书育人的思想，帮助介绍一些数学与其他学科的联系，说明打好数学基础是将来发展的前提，帮助学生树立正确的学习心态.第二，不能单纯讲解数学理论，要介绍理论的来源和用途.讲授方程组解法时，可举例说明投入产出方法，可结合数学软件让学生在计算机上绘制二次曲面的图形，效果逼真又节省课堂时间.第三，要注意因材施教.对学有余力的学生，指定一些参考书让其课外阅读，补充教材和讲授的不足.对基础较差的学生，通过个别辅导答疑，让其达到基本要求不致掉队.

五、高等代数与解析几何的未来展望

高等代数与解析几何两课合一，这是历史的必然.但两者合并并不是机械地编凑在一起，重要的是从逻辑系统、理论高度妥善处理好它们之间的关系.从数学发展史上看，代数与几何关系已密不可分，相互依赖；从本质上看，解析几何中的二次曲线、二次曲面的分类与线性代数中的二次型的分类说的是一回事.高等代数与解析几何是数学专业的基础课程，随着计算机多媒体的普及，高等代数与解析几何的教学必须得到加强.它们的关系密切且部分内容重叠，因此将两门课程合起来，不仅可节省时间，也可使它们互为补充，从而形成统一的整体.

总之，高等代数与解析几何是不可分割的，把高等代数与解析几何结合起来作为统一的课程是有必要的，也是十分有益的.这是一项系统工程，应有一个宏观设想.而作为一个新生事物，要真正做到两门课程水乳交融、融会贯通，使其形成一个有机的整体，还需要一个过程，需要不断积累经验.让我们大家努力做好，使我国早日成为世界数学大国.

【参考文献】

[1]潘晏仲，李洪军.高等代数与几何.西安：西安交大出版社.

[2]王仁发.高等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社.

[3]李超.高等代數课程教学中应该注意的几个问题 [J].数学理论与应用.2002（4）.