挖掘课本习题功能探究高考命题趋势——一道解三角形课本习题的探究

☉江苏省昆山市第一中学 周维军

挖掘课本习题功能探究高考命题趋势
——一道解三角形课本习题的探究

☉江苏省昆山市第一中学 周维军

又sin∠BDA=sin∠ADC，BD=CD，所以∠DAC=90°，所以∠BAC=120°，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+ AC2-2AB·ACcos∠BAC，即BC2=48+12-24=36，故BC=6.

点评：挖掘所给三角形中角的关系，是解题入手点之一，其中角的关系主要包括三角形内角和为180°，外角等于与其不相邻的两个内角和，两角互补正弦值相等，余弦值互为相反数，两角互余正弦值与余弦值相等.

点评：本解法抓住题目条件本质，将三角形置于平行四边形中，使题目中不明确的边角关系突显出来，进而利用正、余弦定理快速解题.

一、改变题目条件，解法根出同源

在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·

点评：本题无论从命题形式，还是解法探究，上述两例都与课本源题出奇的相似，准确把握“两角互补，其正弦值相等”和“三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和”是问题顺利求解的关键.

二、落实基本能力，展现考纲要求

点评：新课标考纲对解三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

三、把握图形关系，由四边形还原三角形

例4（2015年全国新课标I卷）如图6，在平面四边形ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，则AB的取值范围是____________.

点评：三角形是平面中最简单的图形，四边形可以认为是由三角形切割而成，故解题中将四边形还原于三角形中，使边角关系更加明朗化，从而顺利解题.

四、合理利用条件，由四边形分割出三角形

例5（2014年全国新课标卷（Ⅱ）文）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

（1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积.

解析：（1）由题设及余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC①，BD2=AB2+DA2-2AB· DAcosA=5+4cosC②.

点评：第（1）问是先利用余弦定理列出关系式，再结合方程思想求解.第（2）问是将四边形面积转化为三角形面积求解.

综上，本文以一道课本习题为例，引导学生多方位思考，将试题进行了推广探究，通过探究，从深层次上挖掘了课本习题的教学价值，有力地激发了学生的探究性思维，培养了探究能力.A