更深更远更优——一道高考题的解法赏析与拓展

☉江苏省海门市四甲中学 陆丛林

更深更远更优
——一道高考题的解法赏析与拓展

☉江苏省海门市四甲中学 陆丛林

一年一度的高考又落下惟幕，每年高考后都会涌现出一批题型新颖、立意深远、背景丰富的好题.2015年的浙江省理科第18题以函数问题为载体，结合绝对值考查学生对数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法的掌握与运用情况，令人耳目一新，本文笔者试给出此题的一些解法赏析与拓展延伸，旨在抛砖引玉.

一、试题呈现

题目（2015年浙江理科第18题）已知函数f（x）=x2+ ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值.

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2.

（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值.

分析：本题是一个二次函数求最值问题，融入了近年常见的元素：绝对值、参数、不等式.对一般的学生来说往往切题较慢，不容易拿到高分，但若抓住本质，进行合理的转化和变形，问题就会变得相对简单.

二、解法赏析

当a≥2，1+b≥0时，1+a+b≥2，M（a，b）=|f（1）|=|1+a+ b|≥2；

当a≥2，1+b＜0时，1-a+b≤-2，M（a，b）=|f（-1）|=|1-a+b|≥2；

当a≤-2，1+b≥0时，1-a+b≥2，M（a，b）=|f（-1）|=|1-a+b|≥2；

当a≤-2，1+b＜0时，1+a+b≤-2，M（a，b）=|f（1）|=|1+ a+b|≥2.

考生在平时考试中遇到的函数题，普遍采用分类讨论思想确定函数最值的解题思路，因此，此法是通法.

解法二：（绝对值不等式）由|a|≥2知道了对称轴的位置，因此|f（x）|的最大值在1或-1时取得，即M（a，b）= max｛|f（-1）|，|f（1）|｝=max｛|1-a+b|，|1+a+b|｝≥

此方法虽然简洁易行，但不是常规方法，只有参加数学竞赛辅导的学生做起来才会得心应手.

解法三：（基本初等函数）由解法一知M（a，b）= max｛|1+a+b|，|1-a+b|｝.

令t=b+1，则M（a，b）=g（t）=max｛|t-a|，|t+a|｝.分别画出g（t）的图像，如图1、图2所示.

图1

图2

①若a≤-2，由图1可知M（a，b）min=g（t）min=g（0）= -a≥2，所以M（a，b）≥2.

②若a≥2，由图2可知M（a，b）min=g（t）min=g（0）=a≥2，所以M（a，b）≥2.

综上，M（a，b）≥2.

此法中通过换元，转化为求最大值中的最小值问题，常规方法就是通过数形结合画出图像，直观简洁，简单易行，若能关注绝对值的几何意义，从这个方法中还可以推出以下方法：

解法四：（绝对值的几何意义）由解法三知M（a，b）= max｛|1+a+b|，|1-a+b|｝.令t=b+1，|（f1）|=|1+a+b|=（|b+1）+a|= |t+a|，|（f-1）|=|1-a+b|=（|b+1）-a|=|t-a|.|（f1）|=|t+a|表示t到-a的距离，|（f-1）|=|t-a|表示t到a的距离.

|（f1）|+|（f-1）|=|t+a|+|t-a|表示t到-a的距离与t到a的距离之和.

|（f1）|+|（f-1）|=|t+a|+|t-a|表示t到-|a|的距离与t到|a|的距离之和.

图3

如图3，当t∈［-|a|，|a|］时，|（f1）|+|（f-1）|的最小值为2|a|，

此法中通过换元后画出图像，借助数轴，是数形结合的一个好方法.

图4

直线QS和直线RS与抛物线分别相切于点Q，R，由图可知|a|+|b|的最大值为3.

此法利用线性规划的知识，对可行域的要求比较高，但此法直观明了，是个好方法.

此法简洁明了，但对学生不等式应用水平要求较高，体现方程（组）的思想，巧妙地运用了绝对值不等式，发挥整体代换、化繁为简的优势.相对于常规的函数思想与分类讨论思想，既不用讨论闭区间上何时取到最值，也不用线性规划画图寻找，简单快捷，计算量小.

若M（a，b）＜2，由（1）必有|a|＜2.

由|1+|a|+b|≤2，得-2≤1+|a|+b≤2⇒-3≤|a|+b≤1.

①若b≥0，则|a|+|b|=|a|+b≤1；

所以|a|+|b|的最大值为3.

此法利用不等式转化为二次函数的最值问题，同时体现了分类讨论思想在解题中的作用.

从上例中我们可以发现，数形结合与转化化归在解题中的巨大作用，如果平时加强对题目的研究，深入剖析题目条件和结构，合理进行变形和转化，往往会收到意想不到的效果，解题效率也能大大提升.

三、变式与扩展

在处理这样的双变量问题上绝对值不等式有着一定的优势，若含有三个变量问题，又如何解决？

变式：已知函数f（x）=ax2+bx+c，记M（a，b，c）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值，当a，b，c满足M（a，b，c）≤2时，求|a|+|b|+|c|的最大值.

故|a|+|b|+|c|≤6，当|a|+|b|=4，|c|=2时取到最大值6.

对于含有三个变量问题，依靠绝对值不等式这个有力的工具，也可以做到整体代换，简单快捷.只要我们把握好不等号的方向，就能在多变量中抓住本质，从而解决问题.

总之，高考题预示高考命题的规律与趋势，倍受广大师生的关注，认真研究高考题，发掘其真正的内含，探索出新的规律性结论，并运用于教学之中，可以丰富我们的教学，使我们的教学理念更新，解题的手段升级，对数学探究的激情会更高，思索会更远，收获将会更大.F