例谈讲题教学中的一题多解和多思

☉江苏省金坛市第四中学 孙惠萍

例谈讲题教学中的一题多解和多思

☉江苏省金坛市第四中学 孙惠萍

数学试题往往有多种解法，学生在解决一个数学问题时，会根据学生自身对问题的熟悉程度和知识存储于脑海中的熟练程度进行取舍.教师面对解决方案比较多的问题时，往往可以呈现一题多解的方式引导学生辨别、思考哪些解法更为优秀、更值得总结和吸收.笔者常常在公开课中看到教师在讲解一题多解的问题时，基本的呈现模式是：分析思考→多解探索→总结方法.这种流程是现阶段一题多解复习教学主要采用的，这里笔者觉得教师对问题的分析是透彻了，但是对于一题多解的本质认知向学生渗透的还是不足，缺失一种更高层面的问题思考，这样的一题多解只能适用于学生能够做一些做过的数学问题，遇到新的数学问题学生往往依旧是一片茫然.笔者认为，一题多解不能仅限于上述基本解题层面，更需要向学生渗透一题多思，从思想层面去引领一题多解.

（1）对于一题多解要关注学生形成解法的解题心理机制，要反思学生为何从这样的角度分析问题，有时教师将同一类型的问题讲解十余遍，学生依旧我行我素使用错误的方法，这里的反思、分析值得教师深思.

（2）对于一题多解还不能仅仅依赖于就题论题，要从问题中寻找解决问题的更高背景，笔者以为，可以从问题解决的思想方法角度、问题解决的知识性整合角度等不同视角去看待一题多解和一题多思，依赖问题而又高于问题地看待一题多解，对学生数学能力的培养是大有益处的.

一、源于深刻背景的一题多解

很多数学问题具备高等数学的背景，其在初等数学中以具体形态展示，这些问题的一题多解和一题多思是对于学生思维深刻性的一种触及，是利用多解提高学生知识广度和深度的方向.

例1在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，此时AB的长为____________.

分析：本题立足于两个不同深刻背景，其一是高等数学中的阿波罗尼斯圆，其二是初等数学中的平行四边形对角线性质，其他的方式也可以解决，但是缺乏最本质的背景支撑，笔者认为教师要讲透本题，最应该讲解的方法正是下面两种.

说明：高等数学背景下的数学问题在高考中有很多试题编制，有兴趣的读者可以研究常用的阿波罗尼斯圆、向量极化恒等式、拉格朗日中值定理等，这些高等数学中重要的数学本质常常成为高考试题编制的常客.笔者再举向量极化恒等式请读者继续研究：向量极化恒等

问题1：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，

问题2：P是棱长为2的正方体上一动点，AB是正方体内切球的任意一条直径，则的取值范围是_________.

二、源于思想方法的一题多解

数学思想方法是需要在讲题教学时积极渗透的，以往传统的讲题对于思想方法的渗透并不积极，更多的是以数学问题解决的技巧和方式为主，笔者认为这种方式并不可取，因此现阶段教学中更要关注讲题的一题多解和思想方法的渗透.

例2过x轴上一动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点，设切线AP、AQ的斜率分别为k1和k2.

（1）求证：k1k2=-4.

（2）试问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

分析：解析几何问题主要是数形结合思想、设而不求思想、类比思想、整体思想的运用，在一题多解时积极渗透关注数学思想方法是一题多思的讲题关键.

说明：上述三种讲题的思路和解答均为学生解答，笔者在分析本题第（1）问时，给学生娓娓道来三种不同解法之间的思想方法，学生都比较认同的是解法1和解法3，第一种思想将设而不求运用巧妙，减少了运算量受学生欢喜，第三种类比思想是解析几何问题中常常出现的，学生较为熟悉，因此学生也较为认同接受，尽管相比第一种思想运算来得较大，但是对第（2）问做好了运算铺垫，经过讲解学生一致对第二种解出k1、k2的解法认为不可取，在实际应试中学生即能理解解析几何问题一般都会运用设而不求思想和类比思想.

本题第（2）问涉及直线过定点问题，一般都需要通过写出直线的方程来求解.

说明：对于本题第（2）问，能够解出问题的学生基本使用了解法3，这种设而不求的思想在解析几何问题中常常使用，相比而言解法2也有少数学生使用，其对于问题的分析使用了整体代换的思想，结合韦达定理的使用，因此从本题一题多解、多思中向学生渗透的是解析几何需要关注的设而不求和数形结合思想.

三、源于方向掌控的一题多解

对于学生而言，数学问题的解决有时是成功了，有时是失败了.笔者常常问学生，你知不知道为什么有时类似问题做通了？有时却走不通？学生都是一脸茫然.笔者认为，学生解决问题有时还是具备偶然性的，他总是在摸索中前进，对于问题的解决方向没有整体性、必然性的掌控.因此，教师一题多解教学需要向学生渗透方向掌控的重要性.

分析：对于向量小题的一题多解，教师教学首先要具备整体性的方向掌控：即向量小题主要依赖图形化处理方式或者代数化运算方式，图形化处理依赖的是向量的图形建构，代数化运算方式仰仗的是坐标化的运算，坚持运用策略的选择，有助于从认知层面认识方向掌控.

说明：向量小题的解决方式主要是图形化处理，教学需要多关注这一方式的使用，相比而言代数化策略的使用尽管简化了思维，但是大大提高了运算量，是学生不太喜欢的方式.教学中可以主辅分明，选择合适的方式进行讲解，也可以通过多思开拓学生的方向掌控.

总之，本文以笔者关于一题多解、一题多思提出了一些新的视角分析，以还不够成熟的一些想法与大家交流，请读者指正.

1.宋卫东.从生“动”到生动，诠释思维品质的提升［J］.中学数学月考，2013（5）.

2.方厚石.向量教学诠释思维品质［J］.数学通讯，2014（1）.

3.冯海英.对高中生学习习惯现状的调查分析［J］.四川师范学院学报，2002.F