解题得以优化源于策略得当——简解圆锥曲线问题的几种策略

☉江苏省大丰高级中学 陈建圣

解题得以优化源于策略得当
——简解圆锥曲线问题的几种策略

四、结束语

各样的错误，成为学生学习上的阻碍，产生了数学知识学会了但数学题仍旧不会解，数学知识和解题能力脱节，教师这时就应帮助学生用效果好的模型将知识与解题能力充分地结合起来.波利亚解题模型有较好的实用性和指导性，在教学中利用这种模型，可以将解题步骤细化到具体步骤.以上本文则对波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用展开了详细探讨，以供参考.F

☉江苏省大丰高级中学 陈建圣

在圆锥曲线问题的解答中，极易出现思路正确，但因运算过程繁杂，导致半途而废的现象，因此，解答圆锥曲线问题时，解题策略的选择应以减少计算量为准则，解题策略的选择是否恰当，对优化解题过程、简化圆锥曲线运算量起着关键作用.下面提供几种策略，供读者参考.

一、紧扣定义，化生为熟

例1（2015年浙江高考）如图1，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）.

图1

点评：数学中的定义是构建数学知识的基石，也是解答相关问题的工具.因此在解答某些圆锥曲线问题

波利亚解题模型在高中数学解题中的实践证明：应用波利亚解题模型可提高学生的解题效率，培养学生的创造思维能力，符合新课改要求.高中数学解题是学生学习数学的一个重要环节，解题过程中经常会出现各种时，如能灵活、巧妙地应用圆锥曲线的定义，不仅能深化对圆锥曲线概念的理解，而且还能提高分析和解决数学问题的能力，进而拓展思维，迅速解题.

二、挖掘本质，熟中生巧

解析：双曲线的右焦点为F（2，0），过点P与x轴垂直的直线为x=2，渐近线方程

三、把握关联，简化计算

例3已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的最小面积为_________.

分析：由题目条件中的动圆经过点F（0，1）且与直线y=-1相切，即圆心C到点F的距离与到直线y=-1的距离相等，不难联想到抛物线的定义，故点C的轨迹为抛物线x2=4y，根据点、直线间的距离公式列出方程求r的最值来求解.

解：由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y，设C到直线3x-4y+20=0的距离d=最小为2，故圆的最小面积为4π.

四、抓住关键，不战而胜

例4（2015年北京高考模拟）若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是________.

解析：如图2，若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则渐近线的斜率大于正方形对角线的斜率，双曲线离心率的范围是

图2

点评：圆锥曲线中对于某些关键的点和线的位置十分重要，有些不但可以简化运算过程，甚至可以起到不攻自破的解题效果.

五、执果索因，逆向探究

（1）如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程；

解析：（1）略.

（2）由题意，设直线AB的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则B（1x2，-y2）.

所以kNA-kNB1=0，所以点A，N，B1三点共线，即点B与点C关于x轴对称.

点评：探索性问题是高考中圆锥曲线命题中的常考题型之一，此类问题若正面求解，常感无从下手，此时若从问题的结论出发，可使解题思路瞬间明朗.如本题执果索因：若点B与C关于x轴对称，则易知直线NB与NC关于x轴对称，故两直线斜率互为相反数，因此可将问题转化为判断kNB+kNC=0，从而使问题清晰简洁得解.

综上，圆锥曲线的运算问题综合性强，能力要求高，要求学生在处理问题时既要从整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想，又要在细节上能熟练运用各种数学方法与技巧.因此掌握一些简化圆锥曲线运算的策略，对优化解题过程，提高运算效率大有裨益.F