完善知识储备 优化解题思维——一道函数零点问题的课堂探究

☉江苏省丹阳市吕叔湘中学 王玉花

完善知识储备 优化解题思维
——一道函数零点问题的课堂探究

☉江苏省丹阳市吕叔湘中学 王玉花

函数的零点是新课标的新增内容，其中隐含了函数与方程、等价转化、数形结合等重要的数学思想方法.纵观近年全国各个省市的高考试题，多个省市的命题涉及了函数零点问题，且这部分知识往往渗透于综合题中，对思维能力有较高的要求，如何准确、快速地解决这类问题呢？本文以一道零点问题的课堂探究为例说明.

一、问题展示

题目 （2015年北京海淀期末）已知函数f（x）= acosx+xsinx，x∈

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）求集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的个数；

（Ⅲ）当1＜a＜2时，问：函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）

二、课堂探究

师：函数零点问题是新课标高考的亮点和热点之一.处理此类问题，需要我们具备哪些知识储备？

生1：处理函数零点问题时，不但需掌握零点存在性定理，有时还需要我们将问题进行等价转化、结合相关函数图像才能迅速、有效解题.

师：还有没有补充？

生2：对于复杂函数的零点问题，有时需要通过借助导数来研究函数的单调性、极大（小）值来完成.

师：具体如何操作？

生2：若函数f（x）在其定义域上单调，则函数f（x）有且仅有一个零点.

若函数f（x）在其定义域上不单调，分两种情况.

（1）若方程f′（x）=0有且仅有一个实数根，即函数f（x）有极大值f极大值（x）或极小值f极小值（x），有如下三种情况.

①没有零点⇔f极大值（x）＜0或f极小值（x）＞0.

②有且仅有一个零点⇔f极大值（x）=0或f极小值（x）=0.

③有且仅有两个零点⇔f极小值（x）＞0或f极大值（x）＜0.

（2）若方程f′（x）=0有且仅有两个实数根，且函数f（x）有极大值f极大值（x）和f极小值（x），有如下三种情况.

①有且仅有一个零点⇔f极大值（x）·f极小值（x）＞0.

②有且仅有两个零点⇔f极大值（x）=0或f极小值（x）=0.

师：知识系统、条理清楚，那么此题如何处理？

生3：f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+xcosx.

（解题中断）

师：问题出在哪里？应如何纠正？

（生众思考）

生4：求函数的零点，即f（x）=0，不应直接求导，应先在原方程下讨论零点的存在情况，看是否存在直观的零点，如当a=0时，令f（x）=xsinx=0，由x∈，得x=0为零点，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的个数为1……

师：非常好！问题的解决应从最基本的角度入手，由浅入深.继续.

生4：当a＞0时，因为f（x）=acosx+xsinx＞0对任意x∈都成立，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的个数为0.

当a＜0时，因为f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+ xcosx＞0对于任意x∈都成立，所以函数f（x）是上的增函数.因为f（0）=a＜0＞0，所以f（x）在上只有一个零点.

易判断f（x）是偶函数，可知集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的个数为2.

综上所述，当a＞0时，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的个数为0；当a=0时，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的个数为1；当a＜0时，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的个数为2.

师：有限的方法，如何应用到无限的题型之中？我们不应局限于方法的固定的形式，应灵活应用其解题.还有没有其他解法？

生5：函数零点的个数问题，可以转化成函数图像与x轴的交点问题，某些问题中可将复杂函数分离成两个函数，进而将其转化为两个函数的交点问题处理.

当a＞0时，两函数的图像如图2所示，两函数没有交点，故原函数没有零点.

图1

图2

师：非常好，将复杂的问题应用简单的原理来解决，体现了所学知识的灵活应用.第三问和零点问题还有没有关系？

生众：有，极值点个数问题，即导函数零点问题.

师：具体如何操作？

生6：由（II）可知f′（x）=（1-a）sinx+xcosx.

g′（x）=（2-a）cosx-xsinx，（g′（x））′=（a-3）sinx-xcosx（1＜a＜2）.

当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，函数g（x）是增函数；

当x∈时，g′（x）＜0，g（x）是减函数.

由g（x）是奇函数，可得g（0）=0，g（-x1）=0.

师：题干要求只需要写出结论，能否简洁求解？生6：依据生5的思路，解答如下.

f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+xcosx.

令f′（x）=0，即（1-a）sinx+xcosx=0，移项整理得sinx cosx，即tanx=

x -π 2，x（）1 x1 （x1，0） 0 （0，x2） x2 x2，π 2（）f′（x） + 0 - 0 + 0 -f（x） 增 极大 减 极小 增 极大 减

图3

所以函数f（x）有3个极值点.

师：导函数的零点问题是高考的重点也是难点，解决问题的方法也是多样的，只要在平时的训练中多总结、归纳，就能在高考中出奇制胜.

综上所述，如何提高学生的数学思维能力以及解题能力，如何使得平时的教学复习能够与高考无缝对接？笔者认为教师要发现教学中的一些有价值的问题，借助恰当的方式引导学生去探究、对比、总结、提炼、反悟，使其最终内化为学生自己的知识结构、方法系统和能力品质，全方位提升学生的思维品质，进而达到能力的提升.A