“函数的表示法”：教什么，怎么教

☉安徽省六安中学 陆学政

“函数的表示法”：教什么，怎么教

☉安徽省六安中学 陆学政

一、一节公开课引发的问题

2014年9月下旬，六安市一位G教师在一所薄弱学校（生源基础普遍较差）开设了一节高中数学公开课，课题是“函数的表示法”（第一课时）.G教师的教学主要依托以下三个例题展开.

例1 （人教A版教材例题）某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）.

例2 （人教A版教材例题）下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.

姓名 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

例3 （自编例题）如图1，函数y=f（x）的图像由两条射线和一段抛物线构成，求

图1

对于例1，无论是写解析式、列表格，还是画函数图像，都是教师一边提问一边板书.当学生回答解析式是y=5x时，教师追问：这里x的范围是什么？让学生从题目条件中找出“x∈｛1，2，3，4，5｝”.当教师在坐标系中描完五个点后，紧接着问：这五个点要不要连起来？面对学生七嘴八舌的不同回答，教师很快给出“定论”：若连起来，则意味着x可以取小数，所以不能连.最后，教师让学生讨论三种表示法各自的优点，并列举了生活中的若干实例.

对于例2，教师读完题后提问：根据表格分析每位同学的成绩变化情况，能否做到？前两位学生均未作答，第三位学生回答“不太容易，需要看图像”，教师对此予以肯定，然后展示事先画好的同一坐标系下的四个图像（三个人的成绩，以及班级平均分），让学生根据图像进行分析，从语言表述来看，学生的回答与教材的解答如出一辙.最后，教师总结强调函数图像的作用以及三种表示法的合理选择.

对于例3，在明确了“为求函数值，需求函数解析式”之后，教师指出：显然，图像由三段组成，在每一段上的表达式不同，这就是分段函数.接着，教师边讲解边板书利用待定系数法求每一段的解析式的过程.当教师问学生“函数y=f（x）是否有三个解析式？”时，绝大多数的回答是“三个”，教师立即纠正为“不对，应该只有一个”，但没有作出具体分析，然后板书分段函数的解析式，进而求出函数值.

从课堂气氛上看，本节课的教学是比较自然、流畅的，学生的学习积极性也较高.可是，只要细致观察就不难发现，课堂上，不少学生存在着这样或那样的认知错误或障碍，而G教师并没有充分地关注并暴露学生的认知冲突，进而有针对性地进行教学，客观上导致教学重点不够突出，教学难点未能有效突破.另外，在课后交流时，很多观摩教师觉得本节课“没有什么可教的”，无外乎“讲几个例题，做几道练习”，这种观点也值得商榷.

作为高中数学的传统内容，“函数的表示法”在各级各类公开课中却很少涉及.如何理解“函数的表示法”教学？怎样才能真正上好这节课？现将笔者的粗浅思考与实践体会概述如下，与同行交流.

二、“函数的表示法”教什么

既然学生在初中已经学习过函数的三种表示方法，那么进入高中，“函数的表示法”究竟还有什么可教的呢？

第一，可以帮助学生巩固对函数概念的理解，特别是要从整体上把握函数概念.

无论是用解析法、图像法还是列表法表示函数，其结果都要受到对应关系与定义域的双重制约，二者构成一个整体、缺一不可.在初中，学生所接触的函数很少涉及定义域问题，往往将函数单一地理解成表达式而忽视定义域的限制作用，导致在高中阶段解决具体的函数问题时，由此而产生的错误屡见不鲜.

学习函数的表示法，既可以帮助学生巩固对函数概念的理解（例如，判断一个图形是不是函数图像），又可以不断提升学生整体把握函数概念的意识与能力.

第二，可以帮助学生克服原有的认知局限性，丰富对函数图像、函数对应关系的认识.

据调查，在不少高一新生的心目中，函数的种类仅仅局限于初中学过的一次函数、二次函数与反比例函数，除此以外再也没有别的函数.相应地，函数的图像也仅仅局限于直线、抛物线与双曲线.这些“根深蒂固”的观念会极大地束缚学生的思维，对研究函数的性质、研究新的函数以及运用函数解决问题都是极为不利的.

学习函数的表示法，可以帮助学生突破这种认识上的局限性：函数的图像是丰富多彩的（如散点图、折线图等），函数的对应关系是千变万化的（特别是分段函数的出现），函数与生产、生活实际也有着广泛而紧密的联系.应该说，这种认识上的丰富与提升是非常及时而必要的.

第三，可以帮助学生在解决具体问题的过程中领悟数形结合、转化与化归等数学思想方法的重要价值.

在函数的各种表示方法中，解析法是从“数”的角度来说的，优点是简明、精确，缺点是不够直观、形象；图像法则是从“形”的角度来说的，优点是直观、形象，缺点是不能准确地刻画变量之间的关系.因此，研究函数，一方面要注意突出函数图像的地位，通过图形去把握一个函数的整体情况，另一方面也要注意充分发挥解析法的优势，以弥补函数图像的不足.

学习函数的表示法，可以帮助学生意识到“数”与“形”的各自优点与不足，必要时能够自发地将不同的表示方法进行合理转换.在解决具体问题的过程中，自然感悟到数形结合、转化与化归等数学思想方法的重要价值.

由此可见，“函数的表示法”绝不是“没有什么可教的”.恰恰相反，本节课应该是学生全面而深刻地领会函数概念的内涵、外延以及数形结合等思想方法的良好契机，也是提升学生思维品质与数学素养的优质平台.

三、“函数的表示法”怎么教

根据以上分析，笔者认为，“函数的表示法”教学，应着眼于学生在初中阶段与高中阶段认知上的“落差”，精心设计典型素材，充分暴露学生的思维错误或障碍，自然激发学生的思维冲突；立足于让学生亲历尝试、对比、说理、辨析、领悟的过程，以完善自己的认知结构、提高自己的数学能力.现将笔者指导F教师在同一学校另一平行班借班上课的主要环节概述如下.

环节1：理解函数表示中定义域的“不可或缺”，从整体上把握函数概念.

本环节，教师先让学生尝试独立解决例4.

例4 设某种饮料的单价是6元/听，买x（x∈｛1，2，3，4｝）听这种饮料需要y元，你能用初中学过的方法表示函数y=f（x）吗？

从实际教学来看，对于解析法，很多学生此时并没有意识到要在表达式y=6x的后面注明定义域；对于图像法，也有不少学生很自然地将描出的点连成了线.对此，教师并没有匆忙给出结论，而是通过延后评价，针对不同做法之间的区别，引导学生进行他评、自评并说明理由，使学生领悟到：定义域与对应关系是一个整体，构成了函数的“左膀右臂”，切不可“厚此薄彼”.

接着给出两个变式.

变式1：设某种食品的单价是6元/公斤，买x（x∈（1，4］）公斤这种食品需要y元，若用上述三种方法表示函数y= f（x），结果有什么不同吗？为什么？

变式2：设某种食品的单价是6元/公斤，买x公斤这种食品需要y元，若用上述三种方法表示函数y=f（x），结果有什么不同吗？为什么？

这里，仍由学生独立作答，教师组织评价，以进一步强化学生的“定义域意识”.

环节2：感受函数表示中对应关系的“不拘一格”，正确认识分段函数.

本环节，教师首先让学生尝试解决例5.

例5 乘坐某市出租车，付费规则如下：

（1）4公里以内（含4公里），费用为6元；

（2）4公里以上，每增加1公里，费用增加1.5元（不足1公里的按1公里计算）.

如果乘坐该市出租车不超过7公里，试写出费用（y元）与里程（x公里）之间的函数解析式y=f（x），并画出函数图像.

分段函数是本节课的难点，对基础较差的学生来说尤为如此.在巡视交流时，教师发现，绝大多数学生对题意理解不清，出现了不少错误（例如，有学生认为x只能取4、5、6、7这四个值）.基于此，教师提出了以下问题串.

问题（1）：x取0.6、3.2、4.7、5.1、6、6.3，有意义吗？相应的y值是多少？

问题（2）：x在哪个范围内取值时，y=6？

问题（3）：y还能取到哪些值？相应的x值的范围是什么？

由于问题（1）～（3）起点低、坡度小、环环相扣，学生得以顺利厘清思路，正确地分四类写出了函数表达式.

此时，教师指出：本题中，为求函数y=f（x）的解析式，需要将x的取值范围分割成若干“段”，“段”不同，对应关系不同，我们把这样的函数称为分段函数.好比一个国家，在其不同的地区可能施行不同的社会制度，但它们还是属于同一个国家，而不是多个国家，也就是“一国多制不分家”.所以分段函数是一个函数，而不是多个函数.注意到每一段表达式中都有“y=”，因此这个分段函数可统一写成如下的形式：

当教师让学生回答函数y=f（x）的定义域与值域时，有学生说“有四个定义域”，对此，教师渐次作了如下的引导：让我们回归定义.（1）什么叫函数的定义域？（自变量的取值范围）（2）取值范围，是指所有能取到的值，还是指部分能取到的值？（指所有能取到的值）（3）因此，函数y=f（x）的定义域是一个还是四个？（是一个，即（0，7］）

对函数y=f（x）的值域的理解类似.

在作函数y=f（x）的图像时，由于学生是第一次遇到，因此教师首先边讲解边画出其中的一段作为示范，然后指导学生画出其余三段，最后展示、评价、总结，得出：“分段函数，分而治之；合中有分，分中有合.”

环节3：甄别函数图像，体会函数表示法的“合理选择”，领悟数形结合等思想.

本环节设置了三道练习.

练习1：（口答）下列图形是不是函数图像？为什么？

图2

图3

练习2：求函数f（x）=x2+2x-1，x∈［-2，1］的值域.

练习3：如图3，设x轴代表地面，OA为直立在地面上的一根水管，若要求水从点A喷出，沿抛物线运行，在点B（1，3）处到达抛物线的最高点，最后落于地面上的点C（3，0）处，问：水管OA的高度该如何设计？

从课堂观察来看，对于练习1，学生回答得较为顺利，解决练习2则遇到了一些“障碍”：有学生回答说函数值只有3个，经教师追问“你是怎么想的”，获知他对区间的意义没有弄清楚，将x只取为定义域［-2，1］内的整数-2、-1、0、1去计算相应的y值；也有学生分别取x=-2、x=1代入解析式计算得y=-1、y=2，得出值域为［-1，2］，其理由是“最小的x对应最小的y，最大的x对应最大的y”，对此，教师没有立即作出评价，而是“不动声色”地将定义域改为［-2，0］，再让该学生用同样的方法求函数的值域，由于x=-2、x=0时均有y=-1，根据上述理由可得函数的最大值、最小值都是-1，因此函数的值域只能是｛-1｝（相应地，函数图像只能是一条水平线段，而不可能是抛物线的一段），这时，该学生主动意识到自己想法的错误，进而转化为结合函数图像思考并解决问题，体现了图形的优势.对于练习3，学生能够意识到图形的不足，必须根据条件求出相应的函数解析式（将图像法转化为解析法），才能精确计算.在明确思路后，由于下课时间快到了，教师省略了具体的解题过程.

环节4：总结归纳，知识建构.

在这一环节，教师用事先写的一首打油诗对本节课作了总结归纳：

函数表示有三招，定义域它地位高；

分段函数非奇葩，一国多制不分家；

函数图像多又美，回归定义辨真伪；

数形结合思想妙，取长补短真有效.

整节课，F教师将相当多的精力放在了对学生思维的暴露、想法的辨析、错误的纠正上，因而有些人认为，教学过程“不够流畅”，甚至“没有完成教学任务”.然而，在笔者看来，课堂是否流畅，教学任务有没有完成，判断依据或者说决定因素不是死板的教条，而是鲜活的学生，是学生对所学知识的理解与掌握程度，是学生数学思维能力的锻炼与提升程度，不是教师教了多少，而是学生学了多少.当面对的学生基础较为薄弱、学习能力不强，经常出现这样或那样或隐或现的思维误区或认知障碍时，教师不应该把数学课堂穿上“皇帝的新衣”，而应该像“父母教幼儿学步”那样，追求学生哪怕是一点一滴的进步与成长，这才是真正的数学教育.

1.普通高中课程标准实验教科书（人教A版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2008.

2.曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第二版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.

3.曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2007.

4.安振平.从学生已有知识经验出发开始你的教学［J］.中学数学（上），2014（3）.

5.王淼生.领悟概念内涵 反思概念教学 构建魅力课堂［J］.中学数学（上），2013（12）.A