创新之路在脚下 无限风景在眼前——2015年福州市高三毕业班质量检测压轴题的详解与反思

☉福建省福州华侨中学 李文明

创新之路在脚下 无限风景在眼前
——2015年福州市高三毕业班质量检测压轴题的详解与反思

☉福建省福州华侨中学 李文明

每年高考前夕，全国各地都要有针对性进行质量检测，其重要性不言而喻，如何根据学生的实际情况和检测试题的导向功能，不失时机地对学生进行有效的数学思想的渗透和数学思维能力的提升，关键是要发挥教师的引领作用，在讲评上练好内功，让我们的讲评有效激活学生的思维，展现数学的魅力，凸显数学的本质，彰显数学的内在美，鼓舞学生探索的勇气，知难而进，要让我们的学生懂得创新之路在脚下，无限风景在眼前.

一、问题提出

图1

2015年福州市高三毕业班质量检测文科第22题（理科第19题）：如图1，已知椭圆Γ：1（a＞b＞0）的离心率点F、A分别为椭圆Γ的左焦点和右顶点，且|AF|=3.

（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程.

（Ⅱ）过点F作一条直线l交椭圆Γ于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′.若PF∥AQ′，求证

二、问题探究

证法1：清水出芙蓉，天然去雕饰.

根据题意，直线PQ与x轴不垂直，设P（x1，y1）、Q（x2，y2）.

因为点Q与Q′关于x轴对称，所以Q′（x2，-y2）.

由（Ⅰ）可知A（2，0）、F（-1，0）（因篇幅所限，以下证法中不再赘述）.又PF∥AQ′，因此

证法2：缺少分析学套路，兜圈绕弯讨辛苦.

设直线PQ的方程为y=k（x+1）（k≠0）.因为点Q在椭圆Γ上，所以点Q′也在椭圆Γ上.

证法3：套路面前有创意，提升能力才给力.

设直线PQ的方程为y=k（x+1）（k≠0）.因为点Q在椭圆Γ上，所以点Q′也在椭圆Γ上.

证法4：踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫.

证法5：变换视角看风云，美景尽在思索中.

由于PF∥AQ′，所以直线AQ′的方程为y=k（x-2）.

设—

证法7：路在脚下需创新，景在眼前会发现.

证法8：创新无止境，求索路漫漫.

连接AQ，因为点Q与点Q′关于x轴对称，AF⊥QQ′，又PF∥AQ′，所以∠Q′AF=∠QFA=∠Q′AF圯|QF|=|FQ′|= |AQ′|.

设|FQ|=m，|PF|=n.

设右焦点为F1，连接PF1、QF1，分别在△QFF1、△PFF1中运用余弦定理，得：

证法9：山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村.

连接AQ，因为点Q与点Q′关于x轴对称，AF⊥QQ′，又PF∥AQ′，所以∠Q′FA=∠QFA=∠Q′AF圯|QF|=|FQ′|= |AQ′|.

以F为极点，以Fx为极轴建立极坐标系，则椭圆Γ的极坐标方程为设Q（ρ，θ），Q′（ρ，2π-θ），P（ρ，112π+θ）.由（Ⅰ）得A（3，0），线段AF的中点

点评：文科学生可能没有学习极坐标，由于圆锥曲线极坐标方程的建立是依据圆锥曲线的第二定义，因此回归定义才是根本之道.

证法10：九九归一是大法，大道至简是天道.

连接AQ，QQ′交x轴于点M，因为点Q与点Q′关于x轴对称，AF⊥QQ′，又PF∥AQ′，所以∠Q′FA=∠QFA=∠Q′AF圯|QF|=|FQ′|=|AQ′|，|FM|=|MA|，点M、Q的横坐标都为，椭圆的准线为直线x=-4.由圆锥曲线的第二定义，可得：

点Q到焦点F的距离与它到准线x=-4的距离d1的比等于椭圆的离心率，得

三、问题拓展

图2

图3

四，问题启示

数学解题教学没有最好，只有更好，什么是通法，什么是技巧，什么是简单，什么是复杂，不要强行灌输给学生，只有通过比较，通过创新，才能凸显数学的本质特征，彰显数学的魅力，激发学生的探索热情，尽最大可能让我们的学生通过学习，体会数学的内在之美，享受数学思维的快乐.道法自然，解法通俗，应是解题教学的重要理念.

1.李文明.问非所答 答非所问［J］.数学通报，2011（2）.

2.李文明.技巧舞出的是玄妙 通俗演绎的是精彩——2014年高考福建卷数学压轴题另解与思考［J］.中学数学（上），2015（2）.A