探究命题本质 赏析命题特色——一道导数压轴题评析

☉江苏省白蒲高级中学 司建锋

探究命题本质 赏析命题特色
——一道导数压轴题评析

☉江苏省白蒲高级中学 司建锋

纵观近年全国各省市高考导数试题的命制，大多以压轴题或把关题的形式出现，对高考的选拔功能起到良好的辅助作用.北京高考命题自2010年实行新课标以来，导数的应用在2014年文科命题中首次以压轴题的身份出现，由题目本身所在的位置决定了题目的难度，因此，此题的难度有所加强，本文以2015年北京一道模拟题为例，就其命题思想及相应的解题策略进行剖析.

题目 （2015年北京海淀一模文20）已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲线y=f（x）的切线，求实数a的取值范围；

（3）若｛x|f（x）≤0｝⊆（0，1），求实数a的取值范围.

导数问题在高考中的考查主要是利用导数研究函数单调区间、极值、最值、零点及不等式证明等，核心是函数最值问题的求解，其中所涉及的不等式的证明及不等式恒成立问题，均可转化为函数最值问题的求解.本题以导数的几何意义及函数零点问题为背景，将问题进行创新考查，其命题特点主要体现在如下几个方面.

一、基础与能力并重

第（1）问求函数的单调区间，属于基础题，体现了高考命题即注重基础又注重能力的考查要求.

当a＜0时，f′（x）＜0，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）.当a＞0时，令f（′x）=0，得

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x 0，1 a（ ） 1a 1 a，+∞（）f′（x） - 0 + f（x） ↘ 极小值 ↗

评析：对基础问题的解答，要注意解题的规范，勿忘函数的定义域.对参数的讨论要不重不漏，当函数含有多个单调区间时，不能写成并集，要用“，”分隔写出.注意f′（x）=0是函数f（x）取得极值的必要不充分条件.在某区间内f′（x）＞0，是f（x）在该区间内单调递增的充分不必要条件等.

二、注重解题过程的前后关联

第（2）问以导数的几何意义为载体，题干叙述简洁，设问方式精巧，对考生提出了更高的能力要求，且第（2）问的解答需要充分利用题目条件，能有效考查考生对相关知识的掌握及灵活应用的程度.

（2）因为存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲线y=f（x）的切线，所以f′（x）=a至少有两个不相等的正实根.

2解得a＞4.

当a＞4时，曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））处的切线分别为y=ax+f（x1）-ax1，y=ax+f（x2）-ax2.

令F（x）=f（x）-ax（x＞0）.

由F′（x）=f′（x）-a=0，得x=x1，x=x2（不妨设x1＜x2），且当x1＜x＜x2时，F′（x）＞0，即F（x）在［x1，x2］上是单调函数，所以F（x1）≠F（x2）.

所以y=ax+f（x1）-ax1，y=ax+f（x2）-ax2是曲线y=f（x）的两条不同的切线.

所以实数a的取值范围为（4，+∞）.

评析：本问在求解中部分同学忽视了对两直线平行充要条件的检验，即两直线平行斜率相等，但截距不等.在证明截距不等过程中采用构造新函数法，进而将问题转化为求函数的单调区间和最值问题，化生为熟解题.本题的求解中要注意问题的转化与解题过程的前后关联，如：将判断截距不等问题，通过构造函数后，将其转化为判断函数单调性问题；另外在判断两直线截距不相等的过程中：“存在两条直线y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲线y=f（x）的切线，所以f′（x）=a至少有两个不相等的正实根”，令F（x）=f（x）-ax（x＞0），其导函数F′（x）=f′（x）-a=0的零点问题与上述“f′（x）=a至少有两个不相等的正实根”相互关联，因此F′（x）=0必有两个零点x1，x2，且x1≠x2，从而得F（x）为单调函数，问题得解.

三、注重解题思维的拓展

考试题目千变万化，常考常新，解题中只要把握问题的本质，善于挖掘问题的关联，全面审视问题的条件，弄清条件与结论之间的关联，合理地将问题进行等价转化，化生为熟，方可以不变应万变.

（3）当a＜0时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数.

综上所述，实数a的取值范围为｛a|a＞0｝.

评析：充分挖掘问题的本质，不难发现，本题属于开区间内函数的零点问题.通常情况下，若函数f（x）在其定义域内单调，则至多有一个零点；若f（x）在其定义域上不单调：

①当方程f′（x）=0有且仅有一个实数根，即函数f（x）有极大值f极大值（x）或极小值f极小值（x）：若f极大值（x）＜0或f极小值（x）＞0，则没有零点.若f极大值（x）=0或f极小值（x）=0，则有且仅有一个零点；若f极大值（x）＞0或f极小值（x）＜0，则有且仅有两个零点.

②当方程f′（x）=0有且仅有两个实数根，且函数f（x）有极大值：若f极大值（x）·f极小值（x）＞0，则有且仅有一个零点；若f极大值（x）=0或f极小值（x）=0，则有且仅有两个零点；若则有三个零点.

若所给的是闭区间，零点既可以在区间内取得，也可以在区间的端点处取得，解题中可结合零点的存在定理：如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0，x=x0即为方程f（x）=0的根.

若所给的区间为开区间，零点的存在不仅依赖极值的正负，还应考虑函数在区间端点值的正负，若区间端点不在函数的定义域范围内，可考虑选取特殊值法判断.本题在判断左端点值正负时，可深挖隐含条件：因为函数的定义域为（0，+∞），故无论较小零点是否在定义域范围内，均有f（x）＜0，故使问题的求解过程得以简化.另外本问求解中考生易出现对而不全的地方有两点：当a＜0时，函数f（x）在定义域范围内单调递减，｛x|f（x）≤0｝⊆（0，1）是否成立，则可选择（0，1）以外的特殊点进行验证；忽视对空集的讨论，即空集是任何集合的子集.

总之，对高考导数问题的解答，尤其是导数压轴题要坚持：基础与能力两手准备，注重与传统考试热点的有机整合，并适时引入新概念、创设新情境、渗透新创意，基础为本、能力立意的基调鲜明，逐步形成含参性、逆向性、构造性、探究性、发展性等五大命题规律与创新特色.F