基于需求层次理论的“说数学”案例探究

☉广东省广州市铁一中学 钟进均

☉广东省广州市执信中学 刘仕森

基于需求层次理论的“说数学”案例探究

☉广东省广州市铁一中学 钟进均

☉广东省广州市执信中学 刘仕森

一、引言

《普通高中数学课程标准（实验）》（下称“课程标准”）明确指出，要重视学生的数学交流能力的培养.数学交流的提出在国际数学教育领域已有近三十年的历史，对它的研究从最初概念内涵的厘定、教育意义价值的挖掘，到后来形式类型的分类、培养模式的归纳，以及到现在用符号学、信息论等理论重新解读，初步建立了一套理论体系.但从数学学习心理视角分析数学交流的实践研究尚不多见.

数学交流的形式有多种，其中“说数学”是数学交流的重要形式之一，属于口头交流形式.“说数学”是指个体用口头表达自己对数学问题的具体认识、理解，解决数学问题的思路、思想和方法以及数学学习情感、体会等的数学学习活动.它包括“说知识”、“说过程”、“说异见”和“说体会”.它们分别指口头表达具体的数学知识，个体解决某数学问题的过程，口头表达个体对数学问题的结果的不同看法，个体探究某数学问题后的情感体会.

本文拟基于需求层次理论，采用案例研究法对“说数学”的实践展开探究.

二、理论基础

美国心理学家、人本主义心理学的创立者亚伯拉罕·马斯洛（A.H.Maslow）提出，需求层次一共有以下七种：①生理需求，也称级别最低、最具优势的需求，指维持生存及延续种族的需求；②安全需求，指希求受保护与免于遭威胁从而获得安全感的需求；③隶属与爱的需求，指被人接纳、爱护、关注、鼓励及支持等需求；④自尊需求，指获取并维护个人自尊心的一切需求；⑤知的需求，指个体对己、对人、对事物变化中所不理解者希望理解的需求，如探索、操弄、实验、询问等；⑥美的需求，指对美好事物欣赏的需求；⑦自我实现需求，指在精神上臻于真善美合一至高人生境界的需求，亦即个人所有理想全部实现的需求.前四层为基本需求，后三层为成长需求.

图1

各种需求层次之间不但有高低之分，而且有前后顺序之别；只有低一层需求获得满足之后，高一层的需求才会产生.基本需求都是个体在生活中因身体上或心理上有所缺失而产生，它是一般人维持生活所必需，可视为一般人所共有.成长需求与基本需求间成交互作用.一方面基本需求为成长需求的基础；基本需求中各种需求未能获得满足（或部分满足）之前，成长需求不会产生.另一方面成长需求对基本需求具有引导作用.居于顶层的自我实现需求，对以下各层需求均具有潜存的影响力量.个体生存的目的，一切都是为了追求自我实现.需求的强度不但不随其满足而减弱，反而因获得满足而增强.在两类需求交互作用中，学习动机是属于成长需求类的求知需求.求知需求的产生将系于基本需求是否满足.需求层次理论有两个基本出发点：一是人人都有需求，某层需求获得满足后，另一层需求才出现；二是在多种需求未获满足前，首先满足迫切需求，该需求满足后，后面的需求才显示出其激励作用.某一层次的需求相对满足了，就会向高一层次发展，追求更高层次的需求就成为驱使行为的动力.

三、案例描述

由于笔者较长时间实施“说数学”，所以学生有较浓厚的数学学习兴趣，熟悉“说数学”的教学环境.以下描述两个教学案例，然后对这些案例从需求层次理论视角展开分析.

案例1：在复习二项式的展开式的课堂上，笔者在讲评以下习题1的过程中，出现了“意外”.

A.-4 B.-3 C.3 D.4

在老师刚介绍完上述解答的思路，还没开始板书具体解题过程时，学生L马上大声地说：“老师，应该先用平方差公式处理，解答起来简单些.”笔者看了该学生一眼，想起他平时数学成绩不错、好问、数学思维不错，相信他提出的“异见”应该挺有价值的.此时笔者还没板书自己想介绍的解答，就微笑地对学生L说：“我明白你的想法，稍等一下，等我讲完这种解法，等一下你来介绍一下你的想法吧.”听到这话，学生L安心地、专心地听笔者讲解解法1.之后笔者邀请学生L到黑板上板书自己的想法（解法2）.他没带任何资料，走到黑板前，快速地写下了：并说：“一看到这个二项式，我明显看到的就是和它适合使用平方差公式，因此，我先处理一下式子，然后按照老师的解法（解法1）去求解”.笔者马上评价他：“L同学的想法是完全正确的.他对和很敏感，能及时想起旧知识.这种敏感对数学学习很重要，运用到了其他知识点.”听到笔者这番话，学生L的神态自豪，之后整节课的学习都很认真.

案例2：在一节高三圆锥曲线复习课中曾有如下一题（习题2）：

已知椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F（1-1，0）、F（21，0），P为椭圆C上任意一点，且cos∠F1PF2的最小值为

（1）求椭圆C的方程；

笔者讲评此题时，边分析题目，边板书解题过程.

解：（1）因为P是椭圆C上一点，所以|PF1|+|PF2|=2a.

在△F1PF2中，|F1F2|=2，由余弦定理得：

|PF1·||PF2|≤）2=a2，当且仅当|PF1|= |PF|=a时等号成立.因为a＞1，所以cos2.因为cos∠FPF的最小值为所以，解12得a2=3.又c=1，所以b2=a2-c2=2.所以椭圆C的方程为

（2）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|.因为，所以

笔者的讲评结束时，坐在第一排的男生X马上指出：“老师，我觉得这种解法比较麻烦，我有相对简单的解法”.笔者立即邀请他上讲台介绍其解答（“说知识”，“说过程”）.他走上讲台，在黑板上快速地画出了图2，然后边板书边讲解：

如图2，点P在弧EF上移动，当点P从E→F时，∠F1PF2逐渐增大.

图2

由∠F1PF2∈（0，π），函数y=cosx在区间（0，π）上单调递减，得当P从E→F时，cos∠F1PF2逐渐减小.

图3

如图3， 则有：|PF1|=|PF2|=a①，cos∠F1PF2=②.又a2-b2=c2③，故可解得a2= 3，b2=2.

在学生X介绍得出该椭圆方程时，笔者马上说：“这方法很好，运用了数形结合的数学思想，灵活运用了三角函数的知识来求解问题.X同学的思维很独特，值得大家学习”.学生X马上接着说：“老师，对于第二问，我的解答是这样的.”还没等着笔者同意，他就接着往下说，边说边板书，具体过程如下.

设A（x0，y0），则S=4|x0y0|.

由点A在椭圆上， 令x0＞0，y0＞0， 则则

此时，学生X介绍完了他的解答，回到自己的座位上，两眼盯着笔者，等待老师的评价.笔者请另一个男生C谈一下他对学生X的解答的意见（“说异见”，“说体会”）：“我觉得他介绍自己的解答的时候姿态很自然，语言很流畅.我容易听懂他所说的东西”.笔者再问：“你觉得X的解答和我刚才给出的解答有什么差异？”男生C考虑了一下，然后说：“老师的解法好像不怎么需要作图.X的解答需要作图，从图像中找到思路，用了数形结合的思想，将余弦函数的知识用上了.两种解法都用到了均值不等式.”笔者及时表扬了学生X：“他敢于表达自己的不同解法，勇气可嘉.他的解答完全正确，从‘形’的角度去寻找解题思路，这在求解解析几何问题时很常见.C同学的比较也正确，说出了两种不同解法的角度差异，很好！”学生X的“异见”使得讲评此题的时间增加了20多分钟，导致笔者计划的教学任务无法完成.

四、案例分析

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》（下称“规划纲要”）明确指出，“要以学生为主体，以教师为主导，充分发挥学生的主动性……，尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育”“关注学生不同特点和个性差异，发展每一个学生的优势潜能”.

1.数学教学需关注学生的身心发展需求

“课程标准”明确指出，教师在教学设计中要充分考虑数学的学科特点，高中学生的心理特点，不同水平、不同兴趣学生的学习需要.我们认为，要落实“以学生为主体，以教师为主导”，教师就需关注学生的身心发展需求，而不是教师本身的需求；不同学生具有不同的身心发展特点，如不同学生对数学学习的认识、理解就不同，更不用说他们的数学知识基础和数学学习心理的差异了.在案例1中，笔者在讲评习题1之前就知可先运用平方差公式，本想在讲评完解法1之后简单介绍一下解法2的思路就算了，意外的是学生L自己就是用解法2求解的，他等待机会直接提出“异见”，渴望老师提供平台给他“说”出来（这就是他的隶属与爱的需求、自尊需求、自我实现需求）.在案例2中，学生X很好地运用了数形结合、特殊化数学思想.对于第二问，笔者提供的解答和他的解答稍有不同.前者将中的x和y“化二为00一”，之后运用二次函数的知识求解（化归为初中数学知识）；后者运用均值不等式（化归为高中数学知识）直接求解.就第一问而言，后者显然更直观（“形”的优势），易理解；前者的解答对学生的符号转换能力要求高些，不直观（“数”的特点）.正是由于这两种解答之间存在巨大差异，学生X才有了展示自我的需求（动机）.在课堂上搭建平台、给机会让学生展示自己的思维成果，这是教师关注学生数学学习过程中的身心发展需求的表现.“在追求过程中所感觉到的满足程度，使个人体会到自我实现的意义，这就孕育了人类自发学习的潜能”.因此，数学教学需关注学生的身心发展需求，尽量让学生在数学学习中感到满足.

2.教师要善于了解不同层次学生的数学学习需求

每一个学生都有不同的数学学习心理.不同层次的学生具有不同的数学学习需求.教师需在教学中通过不同渠道了解学生的数学学习需求.“教师在学生知识生长、形成的过程中，不能用既定的教学方案或拟定的教学程序一味地去控制和约束学生的思维活动，而是应尽量顺应学生思维的自然进程，精心呵护学生学习的‘天赋’生机，及时捕捉学生学习中产生的生成性资源，相机对预设的教学方案不断做出动态性的变革，以此来促进学生个体知识的生成.因此，我们需了解不同层次学生的数学学习需求.案例1中，学生L在教师的讲评中大声提出自己的“需求”，案例2中，学生X大胆地提出“我有相对简单的解法”，这些是笔者在长期“说数学”实践中鼓励学生大胆地、勇敢地“说”的好处——学生敢于表达自己的数学学习需求，教师就容易及时了解到学生（学习的主体）在学习过程中的需求.其实，对于了解不同层次学生的数学学习需求，“说”只是一种渠道，“写”为另一种渠道.

3.创设机会尽量满足学生的数学学习需求

奥苏贝尔（DavidP.Ausubel，1918-2008）认为，学习者的成就动机都可指向认知内驱力（内在动机）、自我提高内驱力和附属内驱力.其中认知内驱力指向学习任务本身（为了获得知识），是一种要求理解事物、掌握知识，以及系统地阐述问题并解决问题的需要.增强学生的认知内驱力，就需强化学生的自我概念.学生的自我概念是指学生对于自身作为学习者的认识以及学习过程的认知体验.学生自我概念的形成与教师的评价有着密切的关系，有时教师在课堂中无意的一句话都可能使学生的自我概念发生变化.在课堂教学中，教师应尽量创设机会让学生实现自己的成长需求，给予多种鼓励，捕捉学生的思维亮点，在最恰当的时机进行及时评价，就能逐渐强化学生的自我概念.

如笔者不给案例1中学生L和案例2中学生X机会表达自己的需求（具体的解答），不及时对这两个学生的“说”给予及时的评价，那么就有可能这两个学生的数学学习认知内驱力（内在动机）降低，最坏的结果是对老师和数学学科产生排斥心理，影响学生的数学学习态度.所谓学习态度，是指学生对学习及其学习情境所表现出来的一种比较稳定的心理倾向，是学习者对学习持有的积极、肯定的或者消极、否定的反映倾向，具有一定的持久性和稳定性的特点.学生的学习态度不仅直接影响学习行为，而且还直接影响学习效果.我们应意识到学习态度是学生成长的基础，也是稳定学习的重要因素，要相信每个学生都有学习的潜能，尊重学生的观点和思维，与学生进行充分地沟通与交流（创设机会让“师生”“生生”多交流）.上述两个案例中，笔者宁愿不完成预设教学任务，也给机会让学生“说”和展示，并且在学生展示完之后给予及时的评价（既有知识与方法方面的，也有情感态度方面的）.毕竟学生的“说”也是一种课程教学资源.

4.把握契机，促进学生的需求向更高层次发展

《基础教育课程改革纲要（试行）》指出：“评价不仅要关注学生的学习成绩，而且要发现和发展学生多方面的潜能，了解学生发展中的需求，帮助学生认识自我，建立自信.发挥评价的教育功能，促进学生在原有水平上的发展.”学生的发展需求具有层次性和个性差异，从基本需求到成长需求的最高层次需老师的引导、指导和帮助.逐步引导学生学习数学知识、思想方法，提高数学思维能力，形成良好的数学学习情感、态度与价值观，是数学教师的重任.从学生的需求层次角度看，就是教师努力促进学生从低层次的需求向更高层次的需求不断得到满足的过程.某学生性格内向，经常不敢在课堂上大声回答老师的提问，就是他在数学学习中的安全需求（害怕别人嘲笑）、隶属与爱的需求（害怕得不到接纳、关注、认可）和自尊需求（基本需求）都得不到满足，他就很难做到走到讲台上边“说”边板书自己的数学思考过程与结果（美的需求和自我实现需求）.学生对数学思想方法、对数学知识结构的欣赏的需求就是对知的需求、对美的需求.所以我们需想尽办法创设机会、把握契机，将学生的需求从低层次推向高层次，最终满足他们的自我实现的需求（具有较强的数学思维能力，形成良好的数学学习情感、态度与价值观）.

在案例1中，笔者观察发现，不少学生都像学生L那样把握住了的结构，先用平方差公式进行变形后再求解，只是多数学生没有学生L那么快提出“异见”.案例2中，学生X的解答和笔者提供的解答差异较大，拓展了师生的视野.这些“异见”的提出，为当节课提供了讨论的内容.笔者及时把握这些契机，对他们的思考和“说”给予了及时地激励性评价.这就使得学生L的安全需求、隶属与爱的需求、自尊需求和知的需求得到了满足，产生了美的需求和自我实现需求（对数学学习有了更高的自我要求，对学好数学充满期待）；学生X大方得体、详细地在全班同学面前介绍了自己的解答，在笔者的及时、客观评价下，其自我实现需求得到了满足，也就是他努力解答本习题的理想得到了实现（不仅能独立解答本题，还能和同伴分享，得到老师的好评）.如此学习方式和评价方式，对学生的数学学习无疑有益，甚至能对学生的终身发展奠基.数学课堂充满生成性资源，需教师把握契机，不断满足学生的低层次需求，刺激学生高层次需求的产生，再想办法满足他们的高层次需求，最终促进学生发展，实现“数学育人”.

五、结束语

新课程改革已实施了多年.如何切实贯彻、践行新课程理念，站在为学生发展服务的高度去认识、实践、反思和改进数学教学，我们尚需不断努力.虽然上述案例在数学课堂中不罕见，但从一定理论视角，剖析学生个体的数学学习心理，才能提高对数学教学的认识.

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3.钟进均.基于语言学视角的“说数学”探究［J］.数学通报，2013（3）.

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5.钟进均.数学高考备考中的高效复习实验研究［J］.数学教育学报，2013（4）.

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7.李祎.数学教学生成论［M］.北京：高等教育出版社，2008.

8.钟进均.对高中数学日记的案例探究［J］.中学数学（上），2013（1）.

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10.钟进均.从教学生成视角探究“说数学”［J］.数学通讯，2013（1）.A