数学教学应从学生的认知基础出发

☉四川省宣汉县中小学教学研究室 赵绪昌

数学教学应从学生的认知基础出发

☉四川省宣汉县中小学教学研究室 赵绪昌

美国著名心理学家奥斯贝尔曾经说过：“如果要将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学.”《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.”调查、分析、研究、遵循学生认知基础，对于数学课堂教学具有重要意义.下面以“数学教学应从学生的认知基础出发”举例说明.

一、关注学生认知基础是实施有效教学的根基

案例1“抛物线及其标准方程”的教学片断.

老教材在椭圆与双曲线中要学习第二定义，我们知道：按第二定义，当0＜e＜1时，轨迹是椭圆；当e＞1时，轨迹是双曲线；那么e=1时，轨迹又是什么呢？所以抛物线概念的引出不必花太多工夫，可以开门见山地直奔主题.但是新教材删除了第二定义，所以引出抛物线的概念就变得相当困难，有的教师把握不准《课程标准》和《学科指导意见》，就或多或少地增加了第二定义的内容，抛物线的教学仍然与老教材的教法一样；有的教师为了能够上好抛物线，也增加了第二定义的教学.这种做法“方便”了教学，却加重了学生的负担，笔者认为实不可取.

那么到底怎样设计教学呢？先看看教科书中的导语：“我们知道，二次函数的图像是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题.那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？”教科书中的这段导语给了笔者一个启发——从学生已有的知识诱导出新概念.因为学生已经具备椭圆、双曲线、初中层面抛物线的知识，从中挖掘分析，笔者对抛物线的概念教学进行了如下设计.

1.在学生已有认知基础上设计问题，使学生初步体验新概念的一个具体背景

师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们尝试解决下面问题：

生1：我利用平方化简，但没有做出来.

师：该同学通过平方化简肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功！

生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，P点轨迹是椭圆.

众生：是的.

众生：双曲线.

师：是双曲线吗？

生3：应该是双曲线的上半支.

由于问题1的解决对问题2有着提示和启发作用，所以问题2几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法来解决，于是教师顺势抛出问题3.

众生：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线，不太清楚.

师：到底轨迹是什么，学生1解问题1的方法会给我们很好的启示.

学生再次化简，片刻后，一致得到轨迹是抛物线，因为它的方程是初中已经学过.

2.剖析问题3条件的几何意义，并推断是否具有一般性结论

师：若把条件中的“2”改为其他数字（非零），结果如何？

众生：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已.

师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？

3.类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念

师：从问题3的分析中我们可以看出，满足这种条件的轨迹都是抛物线.于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义.哪位同学能根据上面的等式，说出抛物线的定义.

生5：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.

师：不太准确，应该添上“平面内”三字，完整的定义请同学们看课本.我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹.

教学随想：对学生认知基础的关注，是尊重学生、理解学生的标志.如果对学生已有的数学知识和经验视而不见，把学生当成一张白纸，依然按部就班地照教材讲授，那么学生就会对学习失去兴趣，课堂教学效率必然降低.案例中，教师从学生已有认知基础出发，由易到难设计了3个问题，让学生在问题解决的过程中对比发现，逆推出抛物线的定义，再结合多媒体动画的演示，给学生留下了深刻的印象.事实上，在探讨中也让学生领悟了一些解析几何的思想方法，如根据定义判断轨迹、运算化简求轨迹等.本课学生对抛物线的来龙去脉清清楚楚，不仅知其然，而且知其所以然.

二、掌握学生认知基础是实施有效教学的前提

案例2“等比数列性质的探究”的教学片断.

师：大家已经学习了等差数列，并通过类比归纳出了等比数列的定义与通项公式，现在我们从等差数列的性质出发来探究等比数列的性质，请大家先完成课本（人教A版必修5）中的习题2.2B组第2题：已知等差数列｛a｝的公差为d，求证：，并思考在等比数列中会

n有怎样的类似结论？

生：利用等差数列的通项公式很容易得出am-an=（m-n）d，形式上稍作调整即可.如果将两者之差调整为两者之比，再结合等比数列的通项公式可以得出如下结论：设等比数列｛an｝的公比为q，则

师：这位同学能够很好地将等差数列中的“差”与等比数列中的“比”联系起来并进行类比，发现并归纳出合理的结论，事实上它就是课本习题2.4B组中的第1题，下面请大家完成课本第39页练习第5题：

已知｛an｝是等差数列.

（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？为什么？

（2）2an=an-1+an+（1n＞1）是否成立？据此能得出什么结论？2an=an-k+an+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得出什么结论？在等比数列中会有怎样的类似结论？

生：从等差数列的定义与通项出发：

（1）由a5=a3+2d，a5=a7-2d，得2a5=a3+a7；同理可得2a5= a1+a9.

（2）由于an-1，an，an+1（n＞1）成等差数列，则2an=an-1+an+1；同理，若an-k，an，an+k（n＞k＞0）成等差数列，则2an=an-k+an+k，可以从特殊到一般的过程中发现其中的规律：当等差数列中的项数成等差数列时，对应的项也成等差数列.

类似地，若｛an｝是等比数列，则：

师：这位同学能够从等差数列性质的结构进行分析，并迁移到等比数列中，归纳出很完美的性质，事实上它就是课本第53页练习第4题，我们不难发现：当等比数列中的项数成等差数列时，对应的项也成等比数列.下面，我们一起来解决习题2.4B组第3题：

就任一等差数列｛an｝，计算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+ a30，你发现了什么一般规律？你能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？

师生一起利用等差数列的定义得出a7=a8-d，a10=a9+ d，从而得到a7+a10=a8+a9；同理a10+a40=a20+a30，并归纳出一般结论：已知等差数列｛an｝，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an=ap+aq.

由于等差数列的图像是某一直线上的一系列点，若从函数的角度来分析，就可借助一次函数的图像，利用线段的中点或梯形的中位线来解释此结论.

我们可以自然地类比到等比数列并得到如下类似的结论：在等比数列 ｛bn｝中，同样可以得出b7b10=b8b9，b10b40=b20b30，一般地，若满足m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），则bm·bn=bp·bq.若从函数的角度来分析，就可借助指数函数的图像，并结合指数幂运算性质来解释此结论.

……

教学随想：认识即是一种以主体已有的知识和经验为基础的主动的建构活动.案例中，教师创设迁移的教学情境，根据学生已有的认知基础：等差数列的定义、通项公式及其性质等，学生运用已掌握的知识进行类比归纳，探究出了等比数列的一系列性质.教师在设计情境时，能够抓住学生的认知基础，使学生在教学情境与学习内容的结合中产生类比与迁移，自然而然地领悟学习内容、探索数学规律.由此可以看出：在新概念的建立与新知识的学习过程中，学生原有的认知基础起着不可低估的作用.

三、发展学生认知基础是实施有效教学的保证

案例3“函数概念”的教学片断.

师：今天我们谈论的话题是函数.大家在初中已学过函数，你能举几个函数的具体例子吗？

生1：年数增长，年份和年龄.

师：谁是谁的函数？

生1：年龄是年份的函数.

生2：电压一定，电流是电阻的反比例函数.

生3：买东西，价格随买东西的增多而增多.

师：是价格还是什么？

生3：哦，价格一定，总价随买东西的增加而增加.

生4：氢氧化钙的溶解度随温度的升高而升高——一次函数.

师：老师也举个例子.……上海证交所股指图，股票指数是时间的函数吗？

生（齐答）：是！

师：你怎么判断这就是函数？（停顿）大胆举手说说.

生5：每一个自变量取值都有唯一对应的数.

师：自变量是什么？

生5：时间.哦，每一个时间都有一个股票价格指数与之对应.

师：她讲得很好.先找自变量，再看有几个与之对应的数，如果是唯一的，就是函数.下面看另一个例子.这是某射击运动员打靶的序数与环数的对应表.这是一个函数吗？

序号 1 2 3环数 8 8 8

生：（小声）是.

师：声音不大，说明不敢确定.要判断是否为函数，需要从哪几个方面说明？

生：解析式.

师：一定要解析式吗？

生6：不一定.对每一个自变量，有唯一的数与之对应就可以.对每一个序号（数），都有唯一的一个环数与之对应.

师：如果第三次脱靶了，是不是函数？为什么？

生7：是.脱靶是0环，还是有唯一的数与之对应.

师：有不同意见吗？

生8：0环和脱靶不一样，这时没有记录，因此没有与之对应的数.

师：两种意见.思考一下，矛盾是怎么产生的？

生9：矛盾在于脱靶是没有记录还是为0环.如果是0环，那就是函数，否则不是.

教学随想：案例中，学生对初中的函数定义有记忆，但有的已经有些模糊，特别是对“函数值随自变量的变化而变化”的把握不到位.老师在这样的地方展开“追问”，有效地强化了概念理解.学生举的例子局限于“有解析式的函数”，这对引入“对应说”有不利影响.因此，老师及时补充上述两个例子，并提问“你怎么判断这就是函数？”意在引导学生“用概念思维”.当学生给出抽象的回答后，再追问“自变量是什么？”在学生回答“每一个时间都有一个股票价格指数与之对应”后，及时指出“先找自变量，再看有几个与之对应的数，如果是唯一的，就是函数”，这就强化了用概念作判断的“操作规范”.对于表格是否表示函数，学生的反应是犹豫的.老师以“要判断是否为函数，需要从哪几个方面说明”为引导.学生说“解析式”，正好进入“圈套”，老师以“一定要解析式吗”继续推动思考，使学生自己得出“对每一个自变量，有唯一的数与之对应就可以”的结论.然后，又以“脱靶是否表示函数”的问题情境引发学生讨论，进一步明确了“对于每一个自变量，都有唯一的数与之对应”这一函数的本质属性，思维从从肤浅走向深刻.每个学生都有自己的生活经验和知识基础，面对同一问题都有各自不同的思维方式，教师只有充分意识到这一点，才能最大限度地激发学生的创造性.

四、丰富学生认知基础是实施有效教学的追求

案例4 在理科数学选修2-1“曲线的交点”一节，教师出示了一道例题：抛物线y2=4x与直线y=x-1相交于A、B两点，求线段AB的长.

（教师留了3～4分钟时间让学生思考，之后交流）

生2：解方程组时消去x，得y2-4y-4=0，再求A、B两点坐标（略）.

生3：不需要求出A、B两点坐标，只要设A（x1，y1），B（x2，y2），得AB=将y=x-1代入，得再利用根与系数关系x1+x2=6，x·1x2=-1，获解.

生4：抛物线的焦点坐标为（1，0），在直线y=x-1上，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用抛物线的定义知，AB=x1+x2+ p，利用根与系数关系x1+x2=6可求解.

师：你们评价一下，哪一种解法更简单，为什么？

生5：利用抛物线定义最简单，在解方程组时，只要求得一元二次方程，利用根与系数关系，减少了许多计算；同时利用抛物线定义比运用两点间距离公式容易，既不需要将y1，y2转化为x1，x2，也不需要为了求（x1-x2）2而配方了.

师：说得很好！如果把直线改为y=x+1，还能用抛物线定义吗？

生（不少）：不能！

师：利用定义，是要有条件的.你们能否说出生3与生1两种解法的区别与联系吗？

生6：生3和生1都是先消元，但生1要求出y，而生3不用求y，是把目标式整体转化为关于x的式子，利用根与系数的关系求解.

此时，学生7突然站起来就说：解方程组消去x后，利用根与系数关系y1+y2=4，AB=x1+x2+p=y1+1+y2+1+p=8（这样的情况不在教师的预设之中）.

师：万变不离其宗，各种方法的共同之处是什么？

生7：都需要解方程组.

师：请大家一起品尝一下每一种解法的优劣？

生8：解方程组求两个交点的坐标，如果这两个交点的坐标非常简单，这样做就很方便，否则会很麻烦.

生9：解方程组是消去x还是消去y，不同的问题需要不同对待，“简单”只是一个方面，它与我们的需求有关.

生10：利用定义求弦长虽然简单，但它必须是过焦点的弦才能用；在方程有实数根的前提下，通过根与系数关系和两点间距离公式求弦长，虽然有些烦琐，但它是求弦长的一般方法.

师：运算问题一直是解析几何的棘手问题，追求简单化是我们的方向之一，但消元、转化等思想方法是解决这一类问题的通性通法，切不可丢.

教学随想：案例中，教师考虑到学生已有的认知基础，以学生为主体，致力于培养学生在学习过程中的自主性和参与性，设计具有探究空间的问题，通过一题多解，在于训练知识、方法，但教师不止步于此，又抛出问题：请评价一下哪一种解法更简单，为什么会简单？给学生评价的机会.学生就需要对比几种方法的优劣，给出理由；经过教师的追问，脱离了束缚之后的学生，往往会发现一些教师预设之外的新的东西，还给教师不少精彩的回答.生9指出与需求有关，说得好极了，体现了辩证法的思想；生10的回答发现求弦长的一般方法和特殊方法，抓住了事物的本质属性.把评价还给学生，每个学生都能有一点独特见解，能在课堂舞台上张扬一番，使得课堂变成有意义的学习的舞台.让学生参与评价的过程，就是给学生一次感悟的机会，有了悟性、执行操作，就容易获得成功.把评价还给学生，还能提升学生的主人翁意识，更好地激发其学习的主动性和创造性.

五、提升学生认知基础是实施有效教学的目标

案例5 抛物线y=kx2-7x-7和x轴有交点，则k的取值范围为__________.

（学生思考2分钟后回答）

师：这个结果……（故意拉长音）

生2：因为图像是抛物线，所以y=kx2-7x-7是二次函数，二次项系数k值不能等于0，所以k且k≠0.

师：生2考虑问题细腻，生1得向生2看齐啊！

师：从二次函数和相对应的一元二次方程的联系中，谁能试着变化一下这个题呢？

生3：一元二次方程kx2-7x-7=0有实数根，则k的取值范围为________.

生4：二次函数和相对应的一元二次方程能相互转换，结果是相同的，且k≠0.

生5：方程kx2-7x-7=0有两个实数根，则k的取值范围为________.

师：大家仔细看下生5和生3的两个题，在已知条件上有什么不同？结果上有无区别？

生6：“有两个实数根”意味着这个方程是一元二次方程，所以结果仍不变.

师：生6注意到问题中的隐含条件，又分析得到位.那么还有……（长音）

生7：方程kx2-7x-7=0有实数根，则k的取值范围为________.

师：注意关键字、词的变化，可不要掉入陷阱啊！

生8：从表面上看，kx2-7x-7=0是一元二次方程，但没有注明二次项系数k值是否等于0，也没有“两个”实数根的字眼，因此，还有可能为一元一次方程，如此允许k= 0，故此k

师：生8从问题的现象到本质分析得很透彻，值得大家去学习啊！

生9：我将“抛物线”换成“函数”，改成：函数y=kx2-7x-7的图像和x轴有交点，则k的取值范围为________.

师：改得好，谁能说一说他和哪位学生的“考题”有联系？

生10：生9的考题和生7的考题咋一看考查两个知识，但解法是相通的.

师：说得太好了.大家还能……（拔高了声调，带有挑战性）

生11：老师，我想把上题的“x轴”换成“坐标轴”，改成：函数y=kx2-7x-7的图像和坐标轴有交点，则k的取值范围为________.

师：说句实话，老师也没想到这种情况，这名学生这样去改，很有勇气.那我们也拿出勇气来挑战一下吧！

生12：这个函数无论是一次还是二次，其图像和y轴都有交点，允许k=0，所以答案为k

师：大家还有不同的看法吗？

生13：生12还有一种情况没有考虑到，抛物线和x轴没有交点的情形也是符合题意的，即k.故此，k取全体实数.

师：大家相互启发，相互补充，使一道题派生出若干道题来.同学们，一个人横越太平洋，是很难的，若大家共同扬帆启程，则是能穿越的.请同学们课后继续搜集“这样”的类型题，争取做一个题会解一类题.

教学随想：美国教育家布鲁巴克指出：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则是让学生自己提出问题.”从某种意义上讲，发现和提出一个有价值的问题就是创新，有时甚至比解决问题本身更为重要.让学生带着问题走进教室，再让学生带着问题离开教室，应该是有效课堂的标志之一.案例中，教师通过“从二次函数和相对应的一元二次方程的联系中，谁能试着变化一下这个题呢？”“大家仔细看下生5和生3的两个题，在已知条件上有什么不同？结果上有无区别？”“改得好，谁能说一说他和哪位学生的‘考题’有联系？”“大家还有不同的看法吗？”等问题的引导，学生积极思考、勇于交流，使一道题派生出了若干题来，实现了做一个题会解一类题，达到了“减负增效”的效果.学生已经清楚的知识不必再讲，学生不清楚的、未知的知识在教学中应作为关键点来突破，从而使教学实现了从以课本、教师为中心到以学生的学习、发展为中心的转化.所以，教师只有了解了学生原有的知识结构，意识到学生已有知识和经验的重要性，才能真正做到有的放矢，实现有效教学.

当然，数学教学应从学生的认知基础出发，远不止上述这些方面，限于篇幅，不再赘述.F