基于APOS理论指导下的“函数单调性概念”教学

李丹艳

【摘 要】美国数学教育学家 Ed.Dubinsky认为：一个人是不可能直接学习到数学概念，只有透过心智结构（mental structure）使所学的数学概念产生意义，才能学习到数学概念。Ed.Dubinsky等人在20世纪80年代针对数学概念学习的特点，在建构主义理论的背景下提出了APOS理论，APOS分别是英文单词Action（活动）、Process（过程）、Object（对象）、Scheme（图式）的首字母，该理论认为数学概念的学习都要经历这四个阶段。函数单调性概念的教学设计是本人以这一理论为指导的初次尝试。

【关键词】APOS理论；单调性；概念教学

一、活动（Action）阶段

是指学生通过一系列外显性的指令去改变数学对象的过程，它是获得数学概念的一个必要条件。许多概念的本质是内隐的，需要经过一系列外显的探究活动来获得。这里的活动不仅仅指学生的肢体动作，而是泛指所有的数学活动，如猜想、回忆、计算、推理等。

活动：（PPT出示下面的函数图像）

师：我们知道函数是用来刻画事物运动变化规律的，函数有什么样的变化规律，相应的事物便具有相同的变化规律，请同学们观察下面几个函数的图象，说说这些函数具有怎样的变化规律？（屏幕显示）

[设计意图] 使学生明确接下来所要研究的内容。

问题1：请同学们观察一次函数f（x）=x+1和二次函数f（x）=x2的图象，从左到右即随着自变量x的增大，图象是上升还是下降的？

[设计意图] 引导学生通过观察函数图象，发现图像从左到右（即随着自变量x的增大），函数的图像是上升还是下降（即函数值随之变大还是变小）的这一图象特征。

教师总结给出函数单调性的定义（文字语言）：对于定义域I内的某个区间D，若随着自变量x的增大，函数值y也增大，我们就说这个函数在这个区间内是单调递增函数，反之为单调递减函数。

练习：根据函数图象说出这个函数在哪些区间内是增函数？在哪些区间内是减函数？（屏幕显示）

从这个题目可以看出，函数的单调性研究的是函数的局部性质。图象虽然直观，但不够精确，我们要用数学的符号语言精确地刻画函数的单调性，如何刻画呢？

二、过程（Process）阶段

是对外显数学活动的进一步思考过程，当学生经过多次重复活动并对其熟悉后，便会在头脑中对活动进行描述，通过一系列心理操作，抽象出概念的本质特征。

[教师活动] 出示已做好的几何画板课件（显示二次函数的自变量和函数值的动态变化），请同学们观察二次函数f（x）=x2图象，随着自变量x的增大，函数值y是如何变化的？

[设计意图] 让学生从数值变化角度动态而直观地感受到“随着自变量x的增大，函数值y也随之变化”的特征。

问题2：如果某一函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，则如何用数学符号语言精确地刻画“随着自变量x的增大，函数值y也增大”这一特征呢？

[设计意图] 由形象到抽象，对思维要求较高，所以先让学生尝试描述一般函数f（x）在（0，+∞）上 “随着自变量x的增大，函数值y也增大”的特征。

一般情况下，学生无法给出单调性的定义，此处给他们预设几种定义，请他们判断是否合理。

[屏幕出示] 若在函数区间（0，+∞）上取无数个点x1

点拨：要反对一个观点，你必须举出至少一个反例。

学生有可能找到反例，若不能举出，教师作图示意，请学生判断。

教师：那怎么办呢？

有学生可能会说：加上“任意”就可以了。

（学生如果没提出，教师可以在这里提示：加上“任意”两个字，可以吗？）

教师：同学们说可以吗？同意的请举手！

教师：同学们，要这么多吗？

学生可能会说：有点复杂。

教师：那我们少点吧，取几个好呢？三个吗？

学生：还是有点多。

教师：那你们说几个？

学生：两个。

教师：两个呀，我觉得一个就可以了。（学生有些讶异）

[屏幕出示] 任取函数f（x）区间（0，+∞）上一个自变量x，如果都有f（0）< f（x），则函数f（x）在区间上是增函数，这样定义正确吗？（举例或画图示意）

[设计意图] 突破本节课的难点：引导学生用数学的符号语言描述函数 “随着自变量x的增大，函数值y也随之增大（或减小）”这一特征，特别是x1，x2前面为什么要加上“任意”两个字。

教师：下面请一位同学将自己对增函数的定义和同学们分享一下，哪位同学愿意？

[设计意图]着力培养学生的概括能力和语言表达能力。

三、对象（Object）阶段

是给抽象出的本质特征赋予形式化的定义和符号，使其成为一个具体的对象。当学生把过程看作一个整体，并对它进行转换和操作时，过程也就凝聚成了对象。

给出函数单调性的一般定义：

一般地，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。

四、图式（Scheme）阶段

是与其他概念建立联系，形成知识的综合图式，并把这个图式纳入自身的認知结构中，与已有的知识建立新的实质性联系。

练习 根据反比例函数的图象（图象屏幕上给出）。

（1）这个函数的定义域是什么？

（2）它在定义域上具有怎样的单调性？

（3）能否这样说：“反比例函数在其定义域上是单调递减的”？

[设计意图] 以反比例函数为例，强化学生认识到单调性是函数的局部性质，形成图式。

例1 证明函数在区间（0，+∞）上是减函数。

分析：怎样证明函数在某一区间上是减函数呢？只要在区间上任意取两个大小不相等的值x1，x2，只要证明：当x1 f（x2）成立。

[设计意图] 通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识，深化图式结构。

基于APOS理论的理念设计数学性质教学，有利于学生理解相关概念。但学生对于概念的认识不是一蹴而就的，这就需要教师在教学过程中整体处理教材，把握教学的度，结合具体的问题有意识地在各个阶段的学习过程中，帮助学生逐步形成函数完整的知识链。

参考文献：

[1]张奠宙等.数学教育学导论.北京：高等教育出版社，2003.4

[2]曹才翰，章建跃.数学教育心理学。北京：北京师范大学出版社，1999.12

[3]濮安山.中学数学教学论.哈尔滨：哈尔滨工业大学，2002.6