浅谈初中数学中的分类讨论思想

张文伟

【摘 要】分类讨论思想是现代各学科教学中一种重要的解决问题的方法和思路，也是现代科学研究处理复杂问题的有效途径之一。因此，提高分类讨论思想的引导，让学生尽早掌握分类讨论思想的运用技巧和优势，对于培养高素质人才有着重要意义。

【关键词】初中数学；分类讨论；思想方法

分类讨论思想是现代各学科教学中一种重要的解决问题的方法和思路，也是现代科学研究和应用中解决各类复杂问题的有效途径之一。初中数学是数学教学的一个转折点，由初中开始，正式引入代数的名称，并且将数学中的数值种类进一步的扩大，使得数学包含的内容大大丰富起来，是转入近代数学的起始阶段，也是进行分类讨论思想教学的最好时期。

一、分类讨论思想概述

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用。

二、常见分类思想运用领域

（一）从数学概念、性质、定理以及公式的限制条件进行讨论

在初中的数学课程中，有许多数学概念是分类进行定义的，比如实数的绝对值是否大于本身，所以应用此类概念进行解题时，就需要进行分类讨论。同时，一些定理、公式等数学内容也有分情况予以表述的，或者有特定德适用范围，在运用此类定理、公式解题时，一定要注意分类进行讨论，让学生领会定理、公式的适用范围。

例：化简︳X-Y︳+X-Y

解：分类，（1）当X>Y时，原式=X-Y+X-Y=2X-2Y，（2）当X=Y时，原式=0+0=0，（3）当X

（二）由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；

例：求解不等式ax+4﹥2x+a+1

解析通过把不等式移项变号变形为（a-2）x﹥a-3，然后根据不等式性质可分为：a-2﹥0，a-2=0和a-2﹤0三种情况分别求解不等式。

（三）由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论

例：等腰三角形的两边长分别为4cm、6cm，求三角形的周长。

解析：本题等腰三角形的腰和底不确定，所以要分4cm是腰、6cm是底和6cm是腰、4cm是底进行讨论求解。

解：（1）当4cm是腰、6cm是底时，三角形的周长为4+4+6=14（cm），（2）当6cm是底、4cm是腰时，三角形的周长为4+6+6=16（cm）

例：已知⊙O1和的⊙O2半分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=_________。

解析：因两圆相切分内切和外切两种情况，所以本题需分类讨论。

解：解方程x2-4x+3=0得方程的两根分别为1、3，故⊙O1和的⊙O2半分别是1和3。

（1）当两圆内切时，O1O2=3-1=2，即t+2=2，t=0；

（2）当两圆外切时，O1O2=3+1=4，即t+2=4，t=2。

综上所述，t=2或4。

（四）由函数的性质引发的分类

例：一次函数y=kx-k与反比例函数y=k/x在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）

A.B.

C.D.

解析：一次函数与反比例函数的图像分布是由系数的符号决定的，所以本题应分k>0和k>0两种情况进行讨论。

解：（1）当k>0时，一次函数y=kx-k的图像经过第一、三、四象限，从左向右上升，反比例函数y=k/x的图像位于第一、三象限；（2）当k>0时，一次函数y=kx-k的图像经过第一、二、四象限，从左向右下降，反比例函数y=k/x的图像位于第二、四象限。综上所述，应该选择C答案。

三、培养学生分类讨论思想的路径

分类讨论思想贯穿中学整个数学课程的始末，充分发挥分类讨论思想的优势，可以将复杂的问题大大简化，不仅有助于提升学生的学习效率，还有助于培养的数学思维能力。

（一）概念、定理、公式讲解全面透彻

要做到全面、合理的分类讨论，拥有扎实的知识储备是必不可少的，因此，教师一定要对存在变化的数学概念、定理、公式进行全面的讲解，把各种情况透彻的传达给学生。

（二）头脑风暴活动

数学中分类讨论也是一种高强度的脑力活动，需要学生调动所有的可能情况，并根据实际的条件一一印证。而现代脑力开发训练的头脑风暴活动正是培养学生短时间调动所学所有知识的最有效方法，因此，通过教师制定一些存在变化的数学题目，开展一场师生间的头脑风暴活动，对于提高分类讨论思想的应用有着很大的促进作用。

总之，分类讨论是重要的数学思想，在初中数学教学中，教师在进行数学思维训练时，应多鼓励学生用新方法、新思路，拓宽思维领域，以克服思维的呆板性，促进灵活性，培养学生多角度、全方位思维的习惯，加快思维速度，以培养学生良好的数学思维习惯。通过加强学生数学思维的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深远的影响。