导数及其应用

导数及其应用一直是高考数学中的重点、热点、难点，特别是通常出现在理科数学试卷的压轴题中，对考生数学能力的要求较高. 试题往往具有挑战性，是考生能否得高分的分水岭.

在导数的复习备考中要努力过好以下三关：第一关，会求目标函数的导函数，即能准确、熟练地根据导数的运算法则及基本函数的导数，求出试题给出的目标函数的导数，特别要重视运算的准确性，它关系后面结果的对错；第二关，会直接应用导数解题，即能解决导数的简单应用问题，如利用导数说明（或证明）函数的单调性，求函数的极值和最值等；第三关，会构造应用，即能对试题所涉及的目标函数进行合理的改造和变形，然后再利用导数解决之.

（1）要熟悉运用导数研究函数性质的基本程序：先求出函数的定义域，再求其导函数，确定导函数的零点，由此可得函数的单调性及极值（或最值）.

（2）对于含参变量的最值问题，特别要注意分类讨论思想的应用.

（3）对于比较陌生的创新问题，要注意等价转化思想的应用，若能化归为熟悉的基本问题，则离成功就不远了.

（4）若试题中有若干个小题，则特别要注意前后小题之间的联系，要有利用前面小题所得的结论解决后面问题的意识.

例1 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1

A. f（x1）>0， f（x2）>-

B. f（x1）<0， f（x2）<-

C. f（x1）>0， f（x2）<-

D. f（x1）<0， f（x2）>-

破解思路 由于给出的函数含有参数a，因此可由条件确定参数a的取值范围，再由函数的导函数确定两个极值点x1，x2（x1

答案详解 法1：因为f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x10），若a≤0，则？坌x∈（0，+∞）有g′（x）>0，故g（x）是（0，+∞）上的增函数，此时，g（x）至多有一个零点，得矛盾，所以a>0. 由g′（x）= >0（x>0）解得00，所以00，所以f（x）是[x1，x2]上的增函数，所以f（x2）>f（1）=-a>- ， f（x1）

法2：同法1知f ′（x）=lnx+1-2ax有两个不同的零点，即关于x的方程2ax=lnx+1在（0，+∞）上有两个不同的实数解，即2a=h（x）= 在（0，+∞）上有两个不同的实数解. 由h′（x）= >0得00，所以f（x）是[x1，x2]上的增函数，从而有f（x2）>f（1）=-a>- ，f（x1）

例2 已知函数f（x）= ，试问：是否存在实数a，使得对？坌x∈（0，1）∪（1，+∞）， f（x）> 恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出a的值并加以证明.

破解思路 由不等式f（x）> 成立，求字母系数a的取值范围，解决的常规方法是分离变量法，即从不等式中分离出a，然后化归为求函数的最值问题. 要实现变量的分离，必须把等式左边的分母lnx除去，即需要确定lnx的值的正负，但lnx的值的符号是不确定的，所以可用分类讨论的方法，把原问题分解成两个小问题来解决.

答案详解 （1）？坌x∈（0，1）， f（x）> 恒成立？圳？坌x∈（0，1）， > 恒成立？圳？坌x∈（0，1），a>x- lnx恒成立. 令h（x）=x- lnx，则h′（x）= （ -1-ln ）.

令t= ，t∈（0，1），则s（t）=t-1-lnt，所以s′（t）=1- . 当0s（1）=0，所以？坌x∈（0，1），h′（x）= （ -1-ln ）>0. 所以h（x）=x- lnx是（0，1）上的增函数. 当x∈（0，1）时，h（x）=x- ·lnx

（2）？坌x∈（1，+∞）， f（x）> 恒成立？圳？坌x∈（1，+∞）， > 恒成立？圳？坌x∈（1，+∞），a

令t= ，t∈（1，+∞），则s（t）=t-1-lnt，所以s′（t）=1- . 当t>1时s′（t）=1- >0，所以s（t）=t-1-lnt是（1，+∞）上的增函数，则？坌t∈（1，+∞），s（t）>s（1）=0.

所以？坌x∈（1，+∞），h′（x）= （ -1-ln ）>0，h（x）=x- lnx是（1，+∞）上的增函数，？坌x∈（1，+∞）时，h（x）=x- lnx>h（1）=1，所以a≤1.

由（1）（2）可知，当且仅当a=1时， ？坌x∈（0，1）∪（1，+∞）， f（x）> 恒成立.

1. 若已知曲线y=x4+ax2+1在点P（-1，a+2）处的切线的斜率为8，则a的值为（ ）

A. 9 B. 6 C. -9 D. -6

2. 已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2），则（ ）

A. 当k=1时， f（x）在x=1处取到极小值

B. 当k=1时， f（x）在x=1处取到极大值

C. 当k=2时， f（x）在x=1处取到极小值

D. 当k=2时， f（x）在x=1处取到极大值

3. 已知直线l：y=3x-e（e为自然对数的底数）是函数f（x）=ax+xlnx图象的切线，

（1）求实数a的值；

（2）设g（x）= （其中x>1），

①证明：函数g（x）在区间（1，+∞）上存在最小值；

②设k为整数，且对于任意的x∈（1，+∞）有k