数列与其他知识交汇

数列与其他知识相交汇的考题有一定的难度，对能力有较高的要求，侧重于理性思维的考查，试题设计通常以一般数列为主，着重考查推理论证能力与处理交汇性问题的能力. 此类考题在近年高考成相对上升趋势，常以解答题或压轴题的形式呈现，有时也以选择题或填空题的形式呈现，难度为中档或中偏高档. 总分值约为4～12分.

（1）“交汇型”的数列题，即关注数列与函数、不等式、平面几何、程序框图、归纳推理等相交汇的考题.

（2）“应用型”的数列题，即关注以实际生活中的应用背景包装的数列题.

（1）遇山开路，逢水架桥→由于“交汇型” 的数列题既可以是同一数列知识点的“小交汇”，也可以是以数列为主体，横向联系其他知识、跨度较大的“大交汇”，因此应熟练掌握数列的自身的应用技巧，也需掌握与其相交汇的函数、不等式、平面几何、程序框图、归纳推理等知识的应用技巧.

（2）顺藤摸瓜，因果轮回→有关“应用型”的数列题破解关键：通过阅读命题情景，提取有效的信息，在理解的基础上，建立相应的数列模型. 常见数列模型有：等差数列模型、等比数列模型，以及有关数列递推关系式的模型.

（3）数列与平面几何的综合，往往从探究数列递推关系开始，探究历程往往是“探寻递推公式→演变成通项公式→①数列前n项和的研究；②通项公式的延续拓展”，所以其突破口是要探究点与点的关系，挖掘数列的递推关系.

（4）数列是函数概念的继续和延伸，将单调性、最值、周期、对称性及分类思想应用到数列中自然是情理之事. 数列与函数的综合，主要体现在将数列问题转化为函数问题，充分利用函数性质进行解答，这往往需要同学们养成良好的函数解题思维习惯，主动构造函数，借助导数等工具解答.

例1 在计算机语言中，有一种函数y=INT（x）叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示不超过x的最大整数，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知 =0.285714，令an=INT ×10n，b1=a1，bn=an-10an-1（n>1且n∈N），则b2015=_______.

破解思路 利用新定义的“取整函数”，求出数列{an}的前几项；再利用bn=an-10an-1，求出数列{bn}的前几项，观察其规律，从而可求出b2015的值.

答案详解 依题意得a1=2，a2=28，a3=285，a4=2857，a5=28571，a6=285714，a7=2857142，…，所以b1=a1=2. 因为bn=an-10an-1，所以b2=8，b3=5，b4=7，b5=1，b6=4，b7=2，所以数列{bn}的周期为6；而2015=335×6+5，余数为5，所以b2015=b5=1.

例2 数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，其中n∈N .

（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；

（2）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci·ci+1<0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，令cn= （n∈N ），在（1）的条件下，求数列{cn}的“积异号数”.

破解思路 （1）利用点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，得出Sn与an+1的关系式；应用an=Sn-Sn-1（n≥2），作差消去Sn，得到数列{an}的相邻两项的递推关系式；利用{an}是等比数列，即可求出参数t的值；

（2）在（1）的条件下，先求出等比数列{an}的通项公式；由cn= ，可求出数列{cn}的通项公式；通过求解数列{cn}的前几项与判断数列{cn}的单调性，即可求出数列{cn}的“积异号数”.

答案详解 （1）由题意，当n≥2时，有an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，两式相减，得an+1-an=2an，即an+1=3an（n≥2），所以，当n≥2时，{an}是等比数列，要使n≥1时{an}是等比数列，则只需 = =3，从而得出t=1.

（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，所以an=3n-1，所以cn= = =1- . 因为c1=1- =-3，c2=1- = ，所以c1·c2=-1<0. 因为cn+1-cn= - = >0，所以数列{cn}为单调递增数列. 由c2= >0，得当n≥2时，cn>0，所以数列{cn}的“积异号数”为1.

例3 给定数列{an}，若满足a1=a（a>0且a≠1），对于任意的n，m∈N ，有an+m=an·am，则称该数列为指数数列.

（1）定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）f（y）=f（x+y），当x>0时， f（x）>1，若数列{an}满足a1=2， f（an+1）= （n∈N ），试证明数列{an}是指数数列.

（2）若数列{an}是指数数列，a1= （t∈N ），

①当n≥2，n∈N时，求证：an>1- ；

②求证：数列{an}的任意三项都不构成等差数列.

破解思路 该题模仿指数函数，定义了指数数列，这类试题的特点是给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识，它可以是新的概念、新的定义、新的定理或新的规则、新的情景. 解决这类题目首先要读懂新概念，理解新情景，获取有效信息，然后根据这个新知识作进一步演算或推理，综合运用新的信息和数学知识，分析、解决新情景问题. 第（1）问的突破口是探究抽象函数y=f（x）的单调性，从而脱去符号“f ”，得出数列{an}的递推关系；第（2）问的突破口是数学归纳法和反证法.

答案详解 （1）因为f（x）f（y）= f（x+y），故有f（0）f（1）=f（1）. 又当x>0时， f（x）>1，故f（1）≠0，所以f（0）=1>0；当x<0时，-x>0，由f（x）f（-x）=f（0），得f（x）= >0. 所以对于任意实数x， f（x）>0恒成立. 任取x1，x2∈R，且x10，因为f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]- f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，所以f（x2）>f（x1），故函数y=f（x）在R上单调递增. 因为f（an+1）= ，所以有f（an+1-2an）=f（0），所以an+1-2an=0，即an+1=2an，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n. 显然对于任意的n，m∈N ，恒有an+m=an·am，而且a1=2，所以数列{an}是指数数列.

（2）因为数列{an}是指数数列，故对于任意的n，m∈N ，有an+m=an·am，所以令m=1，则an+1=an·a1= an，所以{an}是公比为 ，首项为 的等比数列，故an= .

①证明（用数学归纳法证明）：

当n=2时，不等式左边= =1- >1- =右边，不等式成立.

假设当n=k（k∈N ，k≥2）时，不等式成立，即a >1- .

因为ak+1= = · =ak·1- ，所以可得ak+1>1- ·1- >1- ，所以当n=k+1时，不等式也成立.

综上所述，当n≥2，n∈N时，不等式都成立.

②假设数列{an}中存在三项au，av，aw构成等差数列，不妨设au>av>aw，则u

当t是偶数时，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶数，（t+4）w-v是偶数，（t+3）v-u是奇数，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u≠（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立；

当t是奇数时，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶数，（t+4）w-v是奇数，（t+3）v-u是偶数，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立.

所以任意t∈N ，2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立，这与（ ）式矛盾，所以假设不成立，故数列{an}的任意三项都不构成等差数列.

例4 某校高一有学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程. 要求每个学生都参加，求第一次听“音乐欣赏”课的人数为m（400

（1）若m=500，分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的人数a2，a3；

（2）（ⅰ）证明：数列{an-600}是等比数列，并用n表示an；

（ⅱ）若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m的取值范围.

破解思路 （1）依题意得a =0.8an+0.3bn，可求得a2，a3的值.

（2）（ⅰ）利用an+bn=1000与a =0.8an+0.3bn，求数列{an}的递推公式，再利用等比数列的定义，即可得证；（ⅱ）先求数列{an}的前10项和S10，再依S10≤5800，得关于m的不等式，从而求出m的取值范围.

答案详解 （1）由已知得an+bn=1000，又a1=500，所以b1=500，所以a2=0.8a1+0.3b1=550，所以b2=450，所以a3=0.8a2+0.3b2=440+135=575.

（2）（ⅰ）由（1）得a =0.8an+0.3bn，所以a =0.8an+0.3（1000-an）=0.5an+300，所以a -600= （an-600）. 因为m∈（400，600），所以a1-600≠0，所以数列{an-600}是等比数列，所以an-600=（m-600）× ，得an=600+（m-600）× .

（ⅱ）前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{an}的前10项和S10，S10=6000+（m-600）×1+ +…+ =6000+（m-600）× . 由已知，S10≤5800，所以有600+（m-600）× ≤580，所以m≤499.9. 因为m∈N ，所以m的取值范围是400

1. 过双曲线 - =1（a>0，b>0）的左焦点F作圆O：x2+y2=b2的一条切线，切点为A，双曲线右顶点为B，若AF，OF，BF成等差数列，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. 2 D. 3

2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y= a1x+m与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称，则数列 的前2015项和为_________.

3. 已知函数f （x）= + （其中n为常数，n∈N ），将函数f （x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn.

（1）求Sn；

（2）若对任意的n∈N ，总存在x∈（0，+∞）使 +a=an，求a的取值范围；

（3）比较 +f （en）与an的大小，并加以证明.