三角函数的性质

本节知识在高考中出现的频率高，题型比较稳定，考点核心是把所给函数式化成Asin（ωx+φ）的形式，解答关于其图象与性质的问题. 形如Asin（ωx+φ）的函数性质为高考必考内容，可在选择题、填空题中直接考查其周期性、单调性、对称性、最值，解答题常与平面向量解三角形相结合，难度为中低档.

理解正弦、余弦函数在区间（0，2π）的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等），理解正切函数在区间- ， 的单调性；了解参数A，ω，φ对函数图象的影响；会用三角函数解决一些简单实际问题.

利用三角公式把三角函数变为“一角一名一次”形式，再结合标准三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象与性质来解决问题，比如：求单调区间就要记住标准三角函数的单调区间来解不等式最为快捷，求值域或最值就是利用标准三角函数中弦的有界性和切的无界性来求解.

例1 如果已知函数f（x）=3sinωx- （ω>0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，且x∈0， ，那么f（x）的取值范围是_____.

破解思路 由两个函数的图象的对称轴完全相同，可以得到它们的周期相同，得ω=2，再由x∈0， ，求得f（x）的取值范围.

答案详解 由题意知，因为x∈0， ，所以2x- ∈- ， ，所以- ≤sin2x- ≤1，即f（x）的取值范围是- ，3.

例2 函数f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ< 的一段图象如图3所示.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调减区间，并求出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合.

破解思路 第（1）小题，已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分图象求其解析式时，A比较容易由图得出；令X=ωx+φ，现利用已知图象中的两个关键点的对应关系，运用待定系数法求ω和φ，也可由图象间接得出周期，再由ω= 即可求出ω；确定φ时，将最低点的坐标代入解析式即可.

答案详解 （1）法一：令X=ωx+φ，由图可得 ω+φ=0，4πω+φ= π？圯ω= ，φ=- π，所以f（x）=3sin x- .

法二：由图知A=3， T=4π- = π，所以T=5π，所以ω= ，所以f（x）=3sin x+φ. 因f（x）的图象过点（4π，-3），故-3=3sin +φ，所以 +φ=2kπ- ，k∈Z，所以φ=2kπ- ，k∈Z. 因为φ< ，所以φ=- ，所以f（x）=3sin x- .？摇

（2）由2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ ，k∈Z，解得函数f（x）的单调减区间为5kπ+ ，5kπ+4π，k∈Z；函数f（x）的最大值为3，取到最大值时x的集合为xx=5kπ+ ，k∈Z.

1. 若已知函数y=sinx+f（x）在- ， 内单调递增，则f（x）可以是（ ）

A. 1 B. cosx

C. sinx D. -cosx

2. 将函数y=sinx- cosx的图象沿x轴向右平移a个单位（a>0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（ ）

A. B.

C. D.

3. 定义在区间- ，π上的函数y=f（x）的图象关于直线x= 对称，当x∈- π， 时函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，0<φ<π）的图象如图4所示.

（1）求函数y=f（x）在- π，π的表达式.

（2）求方程f（x）= 的解.

（3）是否存在常数m的值，使得f（x）-m<2在x∈- π，π上恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.