函数与应用

函数的应用问题一直是高考的热点之一，各地高考数学试题中的应用问题多数是有关函数的应用题，试题的形式有解答题，也有选择题或填空题；问题的情境也丰富多彩，有环境保护、最优化问题、工程问题、与其他学科的交汇问题等；涉及的函数模型以二次函数、指数函数、“对勾”函数、分段函数为主.

函数应用问题的实质仍是函数的基本性质的应用，其关键是从实际问题中提炼出函数模型.

解答函数的应用问题一般可按以下程序进行操作：第一步， 认真缜密审题，确切理解题意；第二步， 引进数学符号，建立函数模型； 第三步，利用函数知识，解决数学问题； 第四步，回归实际问题， 给出问题结论.

例 某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）. 已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件. 该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.

（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；

（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

破解思路 对于第（1）问，关键是要搞清楚当生产A部件的人数为x时，生产B，C部件的人数分别是多少，这样安排时可分别生产A，B，C部件各多少个.

对于第（2）问，事实上是求第（1）问所给出的三个函数中（对于定义域中任意的x的值）最大者的最小值. 由于k的取值的不同，三者的大小关系也不同，所以可用分类讨论的方法解决. 注意到k=2时，完成A，B部件生产需要的时间相同，所以k=2是分类讨论的临界值.

答案详解 （1）设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1（x），T2（x），T3（x），由题设有T1（x）= = ，T2（x）= ，T3（x）= ，其中x，kx，200-（1+k）x均为1到200之间的正整数.

（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为x0

易知，T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数.注意到T2（x）= T1（x），

于是：①当k=2时，T1（x）=T2（x），此时可得f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max ， ，由函数T1（x），T3（x）的单调性知，当 = 时f（x）取得最小值，解得x= . 由于44< <45，而f（44）=T1（44）= ， f（45）=T3（45）= ， f（44）

②当k>2时，T1（x）>T2（x），由于k为正整数，故k≥3，此时 ≥ = .

记T（x）= ，φ（x）=max{T1（x），T（x）}. 易知T（x）为增函数，则f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=φ（x）=max ， .

由函数T1（x），T（x）的单调性知，当 = 时，φ（x）取得最小值，解得x= .

由于36< <37，而φ（36）=T1（36）= > ，φ（37）=T（37）= > ，此时完成订单任务的最短时间大于 .

③当k<2时，T1（x）

此时由函数T2（x），T3（x）的单调性知，当 = 时， f（x）取得最小值，解得x= . 类似①的讨论. 此时完成订单任务的最短时间为 ，大于 .

综上所述，当k=2时完成订单任务的时间最短，此时生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68.

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元. 设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？求最小值.