参考答案

1 等差数列与等比数列

1. （1）因为f ′（x）=an-an+1+an+2-an+1·sinx-an+2·cosx，对任意n∈N ， f ′ =an-an+1+an+2-an+1=0，所以2an+1=an+an+2. 又因为a1=2，所以数列{an}是以2为首项的等差数列. 设数列{an}的公差为d，因为a2+a4=8，所以2a1+4d=8，解得d=1，所以an=2+（n-1）×1=n+1. 所以数列{an}的通项公式an=n+1（n∈N ）.

（2）由（1）知，an=n+1（n∈N ），所以bn=2n+1+ =2（n+1）+ ，所以Sn=b1+b2+…+bn=2（2+3+…+n+1）+ + +…+ =2× + =n（n+3）+1- =n2+3n+1- .

2. （1）a2=λa1+λ-2=2λ-2，a3=λa2+λ-2=2λ2-2λ+λ-2=2λ2-λ-2. 因为a1+a3=2a2，所以1+2λ2-λ-2=2（2λ-2），得2λ2-5λ+3=0，解得λ=1或λ= ，当λ= 时，a2=2× -1=1，a1=a2，不合题意，舍去.

λ=1时，代入an=λan-1+λ-2，可得an-an-1=-1，所以{an}构成以a1=1为首项，-1为公差的等差数列，所以an=-n+2.

（2）由λ=3可得an=3an-1+3-2？圯an=3an-1+1，所以an+ =3an-1+ ，所以an+ =3an-1+ ，即bn=3bn-1（n≥2）. 又b1=a1+ = ，所以{bn}构成以b1= 为首项，3为公比的等比数列，所以bn= ·3n-1= ，所以Sn= = （3n-1）.

3. （1）anan+1+anan-1=2an-1an+1可变形为 + = （n≥2且n∈N ），所以数列 是等差数列，d= - =3. 所以 = +（n-1）d=-2+（n-1）·3=3n-5，即an= .

又由题意有Sn=3-3· ，则Sn-1=3-3· （n≥2），两式相减得bn= （n≥2）.

又b1= 也符合此式，所以bn= （n∈N ），即数列{bn}是等比数列.

（2）由（1）代入得cn= =（3n-5） ，设xn=Tn+1-2Tn+Tn-1，则其可变形为xn=（Tn+1-Tn）-（Tn-Tn-1）=cn+1-cn= · （n≥2）.

而xn+1-xn= ，所以当2≤n≤7时，xn+1-xn<0，即数列{xn}递减；当n≥8时，xn+1-xn>0，数列{xn}递增，即x2>x3>x4>0>…>x8

2 数列与其他知识交汇

1. C 依题得AF= = =a，OF=c，BF=a+c. 因为AF，OF，BF成等差数列，则2OF=AF+BF，所以2c=a+a+c，所以c=2a，所以e= =2.

2. 依题意得圆心（2，0）在直线x+y-d=0上，则d=2. 因为直线y= a1x+m与直线x+y-2=0互相垂直，所以a1=2. 所以Sn=2n+ ×2=n（n+1），所以 = = - ，所以数列 的前2015项和等于 - + - +…+ - + - = .

3. （1）f ′ （x）= . 令f ′ （x）>0，则x

所以f （x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减.

所以当x=en+1-n时， f （x）max=f （en+1-n）= + ，即an= + ，则Sn= + .

（2）因为n≥1，所以en+1递增，n（n+1）递增，所以an= + 递减. 所以0

令g（x）= +a，则g′（x）= ，所以g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减.

当x→0时， →0；当x→+∞时， >0；又g（1）=1+a，所以g（x）∈（a，1+a]，结合已知得（a，1+a]？勐0， + ，所以a≤0， + ≤1+a，所以 - ≤a≤0.

（3） +f （en）-an= + + - - = + ln - = +ln - .

令t= ，因为g（x）= （x≥1），g′（x）= ≤0，所以g（x）在[1，+∞）上递减.

所以10，所以r（t）>r（1）=0，所以 +ln - >0，所以 +f （en）>an.

3 归纳推理

1. 2015×22012 观察倒三角形数，可知，M是在第2014行.

第2行的第一个数是3：3=3×20；

第3行的第一个数是8：8=4×21；

第4行的第一个数是20：20=5×22；

第5行的第一个数是48：48=6×23；

第6行的第一个数是112：112=7×24；

…

可归纳，第2014行的数M是：M=2015×22012.

2. 9×101006 可以看出2位数有9个回文数，3位数有90个回文数，4位数有90个回文数，按照此数据研究发现，2014位数的回文数只用看前1007位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面1006位每位有10种情况，所以个数为9×101006，因此，2014位的回文数总共有9×101006.

4 类比推理

1. n 因为Tn=a1+a2·4+a3·42+…+ an·4n-1 ①，所以4Tn=a1·4+a2·42+a3·43+…+an-`1·4n-1+an·4n ②，由①+②得5Tn=a1+（a1+a2）·4+（a2+a3）·42+…+（an-`1+an）·4n-1+an·4n=1+ ·4+ ·42+…+ ·4n-1+an·4n=n+an·4n，所以5Tn-4n·an=n.

2.

5 演绎推理

B 分别画出函数y= 的图象与y=2sinπx （-2≤x≤4）的图象（如图4所示），可得“和谐点对”的个数是4. 故选B.

图4

6 直接证明与间接证明

（1）因为an+1+2= +2= ，所以 =2· .

令bn= ，则bn+1=2bn. 因为b1= ，所以当a=-2时，b1=0，则bn=0（舍）.？摇

当a=-2时，数列 不是等比数列；

当a≠-2时，b1≠0，则数列 是等比数列，且公比为2.

所以bn=b1·2n-1，即 = ·2n-1，解得an= ·2n-1-2.

（2）由（1）知，当a=1时，an=（2n+1）·2n-1-2. 设cn=（2n+1）·2n-1，其前n项和为Tn，由错位相减法得Tn=（2n-1）·2n+1，所以Sn=Tn-2n=（2n-1）（2n-1）.

因为2n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn，

所以当n≥3时，2n≥C0n+C1n+…+Cnn-1+Cnn=2（n+1），则2n-1≥2n+1.

所以Sn≥（2n-1）（2n+1），则 ≤ = - .

从而可得 + +…+ ≤ - + - +…+ - = - < .

综合测试

1. B

2. B 因为 是3a与3b的等比中项，所以3=3a·3b，所以a+b=1，所以 + = + =2+ + ≥2+2 =4当且仅当a=b= 时，取等号，所以 + 的最小值为4.

3. C

4. C 若f（x）=sin ，g（x）=cos ，则f（x）·g（x）= sinx，所以f（x）·g（x）为奇函数，所以 f（x）·g（x）dx=0，所以①是正交函数；若f（x）=x+1，g（x）=x-1，则f（x）·g（x）=x2-1，所以f（x）·g（x）为偶函数，所以 f（x）·g（x）dx=2 （x2-1）dx=2 x3-x10=- ≠0，所以②不是正交函数；若f（x）=x，g（x）=x2，则f（x）·g（x）=x3，所以f（x）·g（x）为奇函数，所以 f（x）·g（x）dx=0，所以③是正交函数. 综上，正交函数的组数是2.

5. A 对于①，取Ω={（x，y）x>0，y>0}，a=（1，0），则a为Ω的向量周期，但-a=（-1，0）不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，取 = ，1，由 = +b= ，1+（-1，2）=- ，3，则Q？埸Ω，所以b不是Ω的一个向量周期，故③是假命题；对于④，取P ，1， = +c= ，1+ ，0=（π，1），所以Q（π，1）. 因为sinπ-cosπ=-1≠1，所以Q？埸Ω，所以c不是Ω的一个向量周期，故④是假命题. 故选A.

6. 观察：含有3件次品的10件产品，m=3，N=10. 当n=1时，E（ξ1）= = ；当n=2时，E（ξ2）= = ；当n=3时，E（ξ3）= = …，可归纳，E（ξn）= .

7. n+2n 因为e1=3=2+1，e2=6=4+2，e3=11=8+3，e4=20=16+4，e5=37=32+5，…，所以an=n，bn=2n，所以en=an+bn=n+2n.

8. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A（-p，0）和C（p，0），顶点B在双曲线 - =1（m>n>0，p= ）上，则 = （其中e为双曲线的离心率）.

9. （1）因为函数f（x）=x2+bx是偶函数，所以b=0，所以f（x）=x2.

因为点Pn（n，Sn）在函数f（x）=x2的图象上，所以Sn=n2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1；当n=1时，a1=S1=1也符合上式，所以an=2n-1.

（2）bn=2n+2n-1，

所以Tn= + =2n+1+n2-2.

10. （1）若m=-1，则f（x）=lnx+ ，所以f ′（x）= - = .

因为函数f（x）=lnx+ 的定义域为（0，+∞），所以当01时， f ′（x）>0. 所以函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）.

（2）若m=0，则f（x）=lnx. 因为函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，所以g（x）=ex，所以g（n+1）=en+1. 因为2n+1an+1=g（n+1）an（n∈N ），所以2n+1an+1=en+1an（n∈N ）. 因为an>0，所以 = = >1，所以数列{an}是单调递增数列.

11. （1）因为T1， 为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴，所以有c=1， + =1，即a2-b2=1， + =1，解得a2=4，b2=3，所以椭圆E的方程为 + =1.

（2）逆命题：“已知P是椭圆E上一点，直线A1P，A2P分别交直线l：x=t（t为常数）于M，N两点，若Q为线段MN的中点，则直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P. ”它为真命题. 证明如下：设P（x0，y0），则 + =1. 又l ：y= （x+2），l ：y= （x-2），所以Mt， ，Nt， . 设MN的中点为Q（x1，y1），则x1=t，y1= = . 又因为x -4= ，所以y1= ，即可得点Qt， ，所以kPQ= = = = ，则lPQ：y= （x-x0）+y ，即y=- x+ . 联立方程 + =1，y=- x+ ，消y并化简得 x2- x+ -1=0，所以Δ=- -4 -1= =0，所以直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P.

（3）如图5，①任作一条直线n垂直于实轴；②作直线A1S，A2S分别交直线n于I，J两点；③作线段IJ的中点V，则直线SV即为所求的直线m.

图5

12. （1）由点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，即an+1-an=1，且a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an=n.

（2）f（n）= + +…+ ， f（n+1）= + + …+ + ， f（n+1）-f（n）= + - > - >0，所以f（n）单调递增，故f（n）的最小值是f（2）=

（3）bn= ，可得Sn=1+ + +…+ ，Sn-Sn-1= （n≥2），nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1，2S2-S1=S1+1，nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1，S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n（Sn-1），n≥2，g（n）=n