综合测试（满分100分）

一、选择题：每小题5分，共25分.

1. 已知等比数列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{an}的前8项和为（ ）

A. 127 B. 255

C. 511 D. 1023

2. 设a>0，b>0，若 是3a与3b的等比中项，则 + 的最小值为（ ）

A. 8 B. 4 C. 1 D.

3. 已知A，B分别在射线CM，CN（不含端点C）上运动，∠MCN= π，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c. 若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，则c的值为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

图1

4. 若函数f（x），g（x）满足 f（x）·g（x）dx=0，则称f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数，给出下列三组函数：①f（x）=sin ，g（x）=cos ；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 在平面直角坐标系xOy中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a，对于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得 = +a，则称a为平面点集Ω的一个向量周期. 现有以下四个命题：

①若平面点集Ω存在向量周期a，则ka（k∈Z，k≠0）也是Ω的向量周期；

②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；

③若平面点集Ω={（x，y）x>0，y>0}，则b=（-1，2）为Ω的一个向量周期；

④若平面点集Ω={（x，y）y=sinx-cosx}，则c= ，0为Ω的一个向量周期.

其中正确的命题个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：每小题5分，共15分.

6. 在含有3件次品的10件产品中，取出n（n≤10，n∈N？鄢）件产品，记ξn表示取出的次品数，算得如下一组期望值E（ξn）：当n=1时，E（ξ1）=0× +1× = ；当n=2时，E（ξ2）=0× +1× +2× = ；当n=3时，E（ξ3）=0× +1× +2× +3× = ，…，观察以上结果，可以推测：若在含有m件次品的N件产品中，取出n（n≤N，n∈N？鄢）件产品，记ξn表示取出的次品数，则E（ξn）=__________.

7. 对于数列{cn}，如果存在各项均为正整数的等差数列{an}和各项均为正整数的等比数列{bn}，使得cn=an+bn，则称数列{cn}为“DQ数列”. 已知数列{en}是“DQ数列”，其前5项分别是：3，6，11，20，37，则en=________.

8. 已知命题：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A（-p，0）和C（p，0），顶点B在椭圆 + =1（m>n>0，p= ）上，则 = （其中e为椭圆的离心率）. 试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是___________.

三、解答题：每小题15分，共60分.

9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在偶函数f（x）=x2+bx的图象上.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=2n+an，求数列{bn}的前n项和Tn.

10. 已知函数f（x）=lnx- （m为实数），

（1）若m=-1，求函数f（x）的单调区间；

（2）若m=0，函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，在各项都为正数的数列{an}中，2n+1an+1=g（n+1）an（n∈N？鄢）. 证明：数列{an}是单调递增数列.

11. 如图2，椭圆E： + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，T1， 为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴.

图2

（1）求椭圆E的方程；

（2）给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线A1P，A2P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上. 若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点.”写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明.

（3）试研究（2）的结论，根据你的研究心得，在图3中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤. 注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.

图3

12. 已知数列{an}中，a1=1，且点P（an，an+1）（n∈N？鄢）在直线x-y+1=0上.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）若函数f（n）= + + +…+ （n∈N且n≥2），求函数f（n）的最小值.

（3）设bn= ，Sn表示数列{bn}的前项和，是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）·g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由.