例谈不完全归纳法在数学教学中的应用

浙江三门县海游镇中心小学（317199） 许绍国

课堂转型最为核心的一句话就是“以学生的学习为中心来组织教学”，做到让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。因此，教师对不完全归纳法的整个推理过程（如素材积累、归纳的方法、特例分析、结论形成等）都要认真研究，做到贴近学生、引发学生思考和提升学生的思维能力。理想的课堂教学应该是这样的：围绕着某个需探讨的主题，让学生列举熟悉的例子；通过一般性规律的揭示，从中得出一个普遍性的结论；然后通过对特例的分析和解释，充实和完善结论；最后由教师引导，在思维上做一定的拓展，培养学生的思维能力。

本文将结合小学数学课堂教学中的具体实例，就如何用好不完全归纳法，促进课堂向“以学定教、以生为本”转型抒一己之见，与各位同行商榷。

一、积累丰富素材，经历活动过程

不完全归纳法是从几个特殊情况归纳推断出一般性的结论，这里面“特殊情况”的数量要保证。尽管都是以偏概全，在条件允许的情况下，例子越多，学生的感受会越充分，对结论的接受程度也就越高。例子的来源，有教师提供的和学生生成的。相比较而言，学生生成的例子更能反映他们的知识基础，利于教师“以学定教”。

例如，教学“小数的性质”一课，教师把书本第58页的“做一做”（如下图）当作例题来进行教学。

在学生发现0．3＝0．30后，教师引导学生从左右两个方向进行观察，得出“小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变”的结论，并指出这就是“小数的性质”，然后进入练习环节。这样教学，学生看似掌握得很扎实，练习的正确率也很高，但是在问学生“为什么0．080这个数中十分位上的0可以去掉，而千分位上的0不能去掉”时，整个班级学生的思维都卡壳了。从这里发现，学生只能在小数性质的描述上做文字游戏，而不能从计数单位的角度进行解释。

面对这种情况，是指责学生的学习，还是应该反思教师的教学？我觉得，这首先是教师对素材的选择和处理不够恰当，提供给学生的素材太少，使得学生未能充分感知就匆忙总结，影响了课堂教学效果。比较例1（如下图）和“做一做”，发现例1有以下一些优势：（1）学生比较熟悉，对长度单位之间的联系也比较清楚；（2）在解释“为什么小数末尾添上0或去掉0，小数大小不变”时，学生能够联系具体的长度单位进行解释，容易理解是由于计数单位不同的原因；（3）例题呈现的是0．1米，教师可以拓展到0．2米、0．3米、0.4米……丰富学生的感知。

像这样，选用指向性明确、题材丰富、过程和结果较开放的素材，让学生在观察多个（一般不应该少于3个）例子的基础上，有了比较充分的感受之后再形成猜想，然后让学生自己举例验证猜想，最后得出结论。这样教学，学生经历了观察、猜想、验证、总结的过程，使学生能够在学习之后形成相对的思维模式，掌握思考问题的方法，这对学生的成长尤为重要。

二、探寻归纳方法，发现内在规律

有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一。在不完全归纳推理中，归纳的方法很重要。而在课堂教学中，常会出现这样一个现象：素材开放后，例子和结论之间的联系可能不是非常明显，或者是多线性的，从而增加了学生学习的难度。这就需要教师对知识的形成和演变过程具有清晰的认识，并具有高超的调控课堂教学的能力，带领学生对众多数据进行有序排列，寻找其中内在的规律。

例如，教学“长方形、正方形周长”一课时，教师先让学生自由地画长方形（边长是整厘米数），然后用多种方法算出周长。可以想象，一个班级的学生所能得出的算式是非常多的，怎样把这些海量的数据进行整理，归纳得出长方形周长的计算方法呢？我进行了如下的尝试教学。

1．学生汇报。

学生在投影仪上先介绍“我的长方形长是……宽是……”，然后边指图形边讲算式，最后汇报：我是用“长＋宽＋长＋宽”（或其他）的方法计算出长方形周长的。

2．师把学生的算式归类板书（略）。

3．引导学生发现：虽然长和宽的数据不同，但是方法都一样，一共有四种，即长＋长＋宽＋宽、长×2＋宽×2、长＋宽＋长＋宽、（长＋宽）×2。

4．归纳：第一种和第二种方法、第三种和第四种方法其实只是计算方法不同，思路是一样的；第二种和第四种方法只是计算过程不同，其核心内容是一样的，都是根据长方形周长的定义求出长方形四条边的总和。

这样进行教学，从学生的已有知识经验出发，借助充分的例子，让学生探索发现、总结方法，充分体现了课堂生成的动态化，使教学自然水到渠成。

三、进行全面分析，引发积极思辨

在不完全归纳法的推理中，一个反例就可以推翻结论。学习过程中难免会遇到一些特例，对特例处置不当，很容易使学生思维混乱，影响教学效果。有的教师担心不能很好地调控课堂，故意设置条件或“陷阱”，引导学生往自己设定的道路前行，虽然也能很好地完成知识的教学，但是违背了学生自主学习的原则，不利于学生学法的形成和思维品质的培养。因此，课堂上教师不要害怕学生有争议，相反，对特例进行广泛的争论，能让学生在争论中明辨是非，促进学生对知识的理解和掌握。

例如，教学“三角形三边之间的关系”一课时，教师可让学生从几组例子中归纳出三角形的三边关系。学生对两边之和大于（或小于）第三边的情况能不能围成三角形不会有异议，但对两边之和正好等于第三边的情况却引发争论。怎么处理这个问题呢？直接告诉学生这样是围不成三角形的，不仅教学流程会比较顺畅，而且会给学生留出更多的练习时间。所以，我在教学中遇到这个情况时，充分相信学生，让学生自己操作、分析、质疑、争论、归纳。教学过程如下：

师：同学们对4㎝、6㎝、10㎝这三根小棒能不能围成三角形有争论，下面请各组都到投影仪上进行操作。（生上台操作）

师：操作过后，还有个别学生不服气，认为4㎝和6㎝两根小棒连起来后和10㎝的小棒之间仍然有微小的空隙，所以觉得这三根小棒围不成三角形。我认为同学们的心里还是有困惑的。那么，让我们静静地思考：这是不是一个三角形？它是怎么产生的呢？谁能够来说明？（学生思考约半分钟）

生1：我认为是因为小棒太粗了，所以边上（指小棒顶端）会碰在一起。

生2：4cm和 6cm的两根小棒连起来后刚好是10cm，和10cm长的小棒放在一起，应该是重叠在一起的。（师演示）

生3：如果小棒都很细很细，就不会碰在一起了。

师：下面，让我们通过电脑来进行精密的演示。（学生在观看电脑演示后都认可了“两边之和不能等于第三边”的结论，刚才有疑问的学生也点头称是）

师（总结）：所以，我们能得出三角形三边之间的关系了吗？

生（齐答）：两条边的和一定要大于第三边。

……

通过对特例的详尽分析，学生消除了原先错误的认识，加深了对三角形三边关系的正确理解。这样教学，使学生的思考突破了不完全归纳法的局限，把一般的共性的归纳拓展到理性分析的层次，不仅帮助学生理解了所学的知识，而且促使学生积极思维。

四、重视结论形成，锻炼思维品质

不完全归纳法是指根据对某类事物中部分对象的考察，概括出关于该类事物全部对象的一般性结论的一种归纳推理，其归纳过程是不够严谨的，得到的结论也并非一定正确。因此，我们要重视结论的形成。课堂教学中，教师应根据学生的年龄特征、思维能力和知识基础，在不完全归纳推理的基础上，适时进行演绎推理等理论论证，这对学生加强知识的理解和掌握、提高推理能力和逻辑思维能力是很有好处的。

例如，教学“三角形的内角和”一课，计算三角形内角和时，学生一般会用测量、剪拼、折叠等方法，从而导致操作出现误差，得出的结论往往是三角形三个内角的和大约等于180°。怎么办呢？教师如果人为地强调三角形的内角和就是180°，恐怕不能使学生信服。这时，如果能够加以论证说明，将会收到很好的教学效果。教师可根据“两个完全相同的直角三角形能够拼成一个长方形”的知识基础进行教学：“通过刚才的操作，大家得出一个初步的结论——三角形三个内角的和大约等于180°，但大家对此有争论。有的同学认为操作中有误差，三角形三个内角的和应该等于180°；有的同学认为三角形有这么多种类型，不可能内角和都刚好等于180°。到底哪种意见是正确的呢？我们知道，两个完全相同的直角三角形能够拼成一个长方形，那能不能根据这个知识来说明三角形的内角和是多少呢？”学生在观察讨论后得出：由于长方形的四个角都是直角，内角和是360°，所以直角三角形的内角和一定是180°。然后教师出示锐角三角形和钝角三角形，提问：“这两种三角形能不能转化为直角三角形呢？”学生思考后得出：把这两种三角形沿高剪开后就得到两个直角三角形（如右图），由于直角三角形的内角和是180°，所以这两种三角形的内角和都是180°×2－90°×2＝180°。这样教学，如拨云见日，使学生柳暗花明，有效地提高了学生的思维品质。

要在“以学定教”的理念下用好不完全归纳法，教师要突显“以生为本”的教育思想，创造性地使用教材，为学生提供丰富的学习素材，使学生经历探究的过程，归纳总结出结论。同时，教师要引导学生用数学的思维进行推理和建构，使数学学习成为学生对数学的认识和体验的过程。总之，教师要用好不完全归纳法，把学习的主动权交还给学生，使课堂教学精彩纷呈。