浅谈转化思想在中学数学解题中的应用

【摘 要】数学是一门逻辑性较强的学科，对于数学的学习，基础知识的熟练掌握固然重要，但数学思想方法的学习也不能忽视。数学思想方法对于数学的学习非常重要，它是我们学习数学的“工具”。而转化思想是中学数学中最基本的思想方法之一，它贯穿于中学数学解题的始终。论文将转化思想的含义、在中学数学中的地位、在中学数学解题中的应用作简单的阐述，以其引起教育工作者的共识。

【关键词】中学数学;转化思想;数学问题

大家熟知的转化思想，就是人们在解决和处理有些数学问题时用某些技巧把问题通过变换，得到解决的一种方法。一般总是将陌生的问题通过转化， 成为已经知道的问题;将不容易理解的问题通过转化，成为容易理解的问题;将不好解决的问题通过转化，成为容易解决的问题;把模糊不清的问题通过转化，成为清晰的问题。

在高考中，转化思想仍处在特别重要的位置。数学问题的研究解决，没有转化思想的帮助会处于瘫痪状态，会觉得少了一个得力的助手，也会增加很多不可避免的麻烦。论文针对其中重要的几个方面做一下简单论述。

一、转化思想在中学代数中的应用

在中学代数中，转化思想被运用到解题中的例子数不胜数，在解决代数问题过程中，有时会用到等价转化，有时也会用到非等价转化。等价转化思想要求在解题过程中前面既是后面的充分条件又是后面的必要条件，这样可以保证在解题过程中同解。例如解方程问题，方程的类型虽然不同，但解法却不尽相同，基本都是利用降次法将高次方程转化为低次方程，利用消元法将多元方程转化为一元方程，或者是利用转化思想将不好求解的分式方程化为整式方程等，这些都体现了等价转化思想。等价转化思想在解决问题过程中既要周全的考虑其限制因素，又要顾及到它们之间的的联系。如不等式恒成立问题中求参数的取值范围这类问题，通常用以下两种方法解决：一种方法是大家经常使用的分离参数求最值的问题，如要使a≥g（x）恒成立，只需a≥g（x）max，从而转化为求g（x）的最大值问题。另一种方法是当题中参数不容易分离出来时，可以直接建立关于参数的不等式求最值问题求解，比如要使不等式f（x）≥0恒成立，可转化为f（x）min≥0，进而转化为求f（x）的最小值h（a）≥0，求出参数的取值范围。代数问题中的非等价转化思想，要求在解题过程中找到使原命题成立的充分条件即可。例如不等式中的放缩法，这是不等价转化的一个典例，通过转化可以大大简化推理证明的过程。

二、转化思想在几何中的应用

中学数学中研究的几何问题是从简单平面图形的性质入手，把复杂的几何问题都转化为简单的图形问题来解决。例如将三维空间问题转化为二维空间问题，将二维空间问题转化为平面图形问题，最后将复杂的平面图形问题转化为简单的平面图形问题。大家熟知中学几何中的面面垂直问题转化为线面垂直问题，线面垂直问题转化为线线垂直问题，都要运用转化思想。

转化思想在解析几何的创立过程中功不可没。在解析几何中转化思想把空间图形和数量关系紧密的联系到一起，使空间图形问题可以转化为数量关系，也可以把数量关系转化为空间图形问题，用两者各自的特点来研究和解决另一类问题。转化思想在解析几何中还体现在概念、定理及公式中。

三、转化思想在三角问题中的应用

转化思想在三角问题中的应用也比较多，在熟记公式的基础上，运用转化思想可以提高学生的运算能力和思维能力达到事倍功半的效果。例如，化简cos（α+β+γ）+cos（α+β-γ），只要抓住α+β+γ=（α+β）+γ，α+β-γ=（α+β）-γ，就可以转化为两角和与差的余弦公式， 达到化简的目的; 又如，计算tan20o+tan40o+ tan20otan40o的值，可以抓住20o+40o=60o的关系，转化为利用两角和的正切公式展开tan（20o+40o），进而求解。

四、转化思想在计数与概率问题中的应用

有些计数问题需要分多种情况进行讨论，问题的解决过程比较复杂，这时我们可以将多向思维计数问题转化为单一思维计数问题，例如我们熟悉常用的隔板法。还有些计数与概率问题直接求解限制因素太多，无从下手时，可以把问题转化为几何模型问题来研究，这样问题就变得简单了许多。例如我们处理概率问题中常见的送贺卡的问题：4名同学每人写一张贺卡，放到同一个盒子里，然后每个人从盒子中取出一张，求拿到别人送出的贺卡的概率。直接处理的话会有一定难度，可以转化为几何模型问题化抽象问题为直观，使问题的解法更易被理解接受。由对立事件的定义可知，事件A和事件B互为对立事件，则P（A）=1-P（B），当我们解决概率问题时所求的问题比较复杂，可将问题转化到对立问题上去，从而快速的解决问题。例如，袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取一只，有放回的抽取3次，求3只球颜色不全相同概率的问题。我们通过分析知道“3只球颜色不全相同”包含类型比较多，而其对立事件“3只球颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解较容易。

总之， 转化思想是中学数学解题中重要的、基本的思想方法之一，通过转化使许多问题化难为易。转化思想渗透在每个教学环节当中，教师在教学过程中要不断对学生渗透转化思想，不仅可以使学生的思路得到拓宽，还可以使学生的学习兴趣，分析问题和解决问题的能力得到提高，培养学生多角度考虑问题，形成科学的思维习惯，掌握正确的思维方法，从而使学生的思维品质得到优化。

【参考文献】

[1]刘俊，付本路，姚玉平.初等数学解题方法教学研究[M].东营：中国石油大学出版社，2010：245-249;235-237

[2]高中伟.渗透数学思想方法、优化数学认识结构[J].中学数学杂志（高中版），2005（7）：11-14

【作者简介】

张丽娜，女，吉林长岭，吉林师范大学数学学院研究生，研究方向：学科教学（数学）。

（作者单位：吉林师范大学数学学院

吉林省扶余市第三中学）