分层教学 促学生认知结构形成

王晓军

随着素质教育的不断深入，越来越多的教育工作者认识到课堂教学是实施素质教育的主渠道。那么，如何在课堂教学中实施素质教育呢？通过几年的教育实践，我校数学教研组已初步形成了“分层教学”的基本思路。实践表明，分层教学是一种教学方法，更是一种教学思维模式，它是以因材施教的原则为核心，通过全体学生的积极参与，从而达到“以最佳方式为学生提供各种学习机会，使教学达到最优化”的有效课堂教学策略。

1997年，我校开始实验研究当时北京教科院基础教育科学研究所梁威所长主持的教育科研课题“初中生数学学习障碍研究”的重要成果——《数学分层测试卡》，通过三年的探索使用，我认为《数学分层测试卡》能促使学生原有认知结构的正向迁移，帮助学生在新的更高一级的层次上，构建新的认知结构，从而不断地获得新知识，形成良好的数学认知结构。

一、使用《数学分层测试卡》，形成认知结构的正向迁移

著名的心理学家布鲁纳特别强调“学科知识结构”，这是因为知识不形成结构，也就不可能进行迁移，但是学科知识结构必须转化成认知结构，才能使外部的逻辑转变为内部的逻辑，从而提高认知水平，所以教师必须抓好基础知识的教学。《数学分层测试卡》第一层是对学生当堂所学新内容的掌握情况的检测，特别注重抓好对学生基础知识的教学，这也是学生认知准备的过程。认知心理学家认为，只有完成了认知准备，学生才能进行有效的学习。

《数学分层测试卡》的第二层是对学生新旧知识结构有机结合情况的检测，这可以帮助学生克服局部片面的认识，找到知识整体的内部的联系，让学生通过自己的“悟化”把握知识整体的精华，领悟其中的规律与实质，并以简练的形式把知识纳入自己的认知结构，把“无意识”转化为“有意识”。

《数学分层测试卡》的第三层侧重于对学生能力的检测，可以使学生的认知结构在信息交流和动态平衡中不断地突破旧的模式，建立新的认知结构，从而增强认知结构功能，提高思维水平。《数学分层测试卡》循序渐进的习题安排，遵循了知识的形成与发展过程，符合学生的认知规律。

二、《数学分层测试卡》是教材内容与结构的补充

著名心理学家奥苏贝尔认为：“学生的认知结构是教材认知结构转化来的。”目前初中生的数学教材偏重于数学知识逻辑演绎体系的严谨性、科学性和思维的深化性，而忽略了学生学习数学认知的心理过程，只重视数学思维结果，往往忽视数学思维过程，梯度偏大。比如北京市九年义务教育初级中学教科书（实验）数学教材中有关求作一元二次方程的习题（6）：求作一个一元二次方程，使它的两个根是；习题（7）：已知α和β是方程2x2-4x-3=0的两个根，求作一个以α2β+αβ2和（1+α）（1+β）的值为根的整系数的一元二次方程。这两道题的梯度显然是偏大了。而《数学分层测试卡》则补充了“已知二次方程x2+3x-1=0，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是原方程各根的平方”这样的题。像这样的例子还有一些。这些补充习题对促进学生认知结构的形成与发展起着重要作用。

《数学分层测试卡》根据每个学生认知基础、教育环境、心理特点的不同，做到既照顾数学知识的科学性，又能面向全体学生，照顾到个体差异与学生原有的知识结构，满足了不同层次学生的心理需求；既考虑到数学知识的结果，又考虑到数学知识的发展过程、解题思路和技巧的形成过程；既体现数学的基础与技能，又体现数学的精神与思想方法。《数学分层测试卡》梯度小、范围广，我认为它是教材内容与结构的补充。

三、巧用《数学分层测试卡》，优化认知结构

优化和发展学生认知结构的途径和方法，一是教师对教材的内容与结构进行补充，二是优化数学课堂教学的结构。

1997年，我听了梁威所长在房山做的有关《数学分层测试卡》的报告，开始接触并使用《数学分层测试卡》。起初我只是在练习、检测时用，注意把学生分为A、B、C三层，A层为成绩在85分以上的学生，B层为成绩在60～84分的学生，C层为成绩在60分以下的学生。根据分组不同，让他们做相应的练习题和测验题。所有学生都有获得100分的机会，所以他们做卡时非常积极。可是我发现他们的积极性只是局限在做卡上，对课上听讲及课后作业还是不太关心，因此不能形成良好的认知系统。接着，我改进策略，采取课前备课分层，课上提问分层，课后作业分层的新方法，力求给不同层次的学生制定不同的学习目标，创造不同的认知情境，充分激发每个学生的求知欲，让每个学生都可以参与知识的发现过程，课后完成不同的作业。

比如，在讲圆周角的第一节课时，我原来制定的教学目标是：（1）使学生掌握圆周角的概念及其度数定理。（2）使学生利用定理熟练解题。（3）使学生了解分类讨论的思想。目标明确后，我认为分类讨论思想是本节课的难点，所以上课后先复习一些与定理有关的知识，然后就开始引导学生怎么分类、证明推出定理，进而让学生自学例题，并进行练习。这样，一节课下来，大部分学生对前两个目标完成较好。可是在讲弦切角定理时，全班就只有1～2个同学在教师提醒后才想起分类讨论，其他同学已没有什么印象了。这说明学生只是掌握了一些死知识，并未学会主动思考。

我依据《数学分层测试卡》采取分层授课后，制定了这样的教学目标：（1）使全体学生掌握圆周角的概念及其度数定理的内容。（2）使C层学生能在比较复杂的图形中认出圆周角，会解简单的求解题，A层、B两层学生熟练运用定理解题。（3）使A层学生了解分类讨论的思想。目标制定后，上课我先不急于分类，只是先给出几个图，让学生观察图中圆周角与它所对的弧的度数的关系。

如图1中的（1），已知：AB为⊙O的直径，C为半圆上一点。求∠C的度数。全体学生依据直径上的圆周角是直角知∠C是直角，请C层学生来回答。而∠C的度数恰恰等于它所对弧的度数的一半。

如图1中的（2），已知：⊙O中OB⊥OA于点O，延长AO交⊙O于点C，连结CB。求∠C的度数。在半圆上取一点D，连结AD、BD，求∠D的度数。学生容易知道∠C=45°= A⌒B，教师引导学生得∠D=∠C=45°=A⌒B。

如图1中的（3），已知：⊙O中当∠AOB不是直角时，求∠C、∠D、∠E的度数。有了前两图作基础，学生容易猜想它们的度数应等于A⌒B的度数的一半。此时，让学生观察圆心O与∠C、∠D、∠E三个角的位置关系。教师提出：要想研究圆周角与它所对的弧的度数之问的关系，图应当怎样画？学生很容易画出三种情况。

接着我再引导学生完成图2中（1）图的证明，其余两图的证明由学生自己完成。得出定理内容，再分层举例、分层练习、分层检测，结束此堂课。整堂课由特殊到一般，再由一般到特殊，学生为课堂主体，参与发现课堂全过程。在教师的引导下，学生利用原认知结构，通过认知活动，建立起新的认知结构，这符合学生的认知规律。通过分层检测、分层作业，我了解到第1、2个目标完成得很好。在以后讲弦切角度数定理时，学生通过互相研究，班中已有7～8个同学能够想到分类讨论进行证明，这说明他们已初步理解了分类讨论的思想并有了一定的思考能力。通过使用《数学分层测试卡》，我认识到不要把它只当成分层练习、分层检测的工具，它还起到了引导教师优化课堂教学结构的关键作用。它能促使教师由浅入深、有条不紊地完成教学过程，以达到不同教学目标的要求。它还可以优化学生的认知结构，进而提高学生的数学素质。

下表是2001届本校两个学习困难生班使用《数学分层测试卡》前后，（初二期末与初三期中）数学成绩比较表（见表1）。

四、《数学分层测试卡》的实施效果

数学教学过程是以认知为基础的复杂的心理过程，是一种特殊的认知活动过程。这个过程的心理因素可以分为两类：一类是与认知过程直接有关的（智力因素），另一类是与认识过程有关的（非智力因素）。通常所说的培养学生的非智力因素即培养学生具有强烈的求知欲、广泛的兴趣、积极的情绪、良好的学习动机、顽强的意志、坚定的信念和主动进取的心理品质。而《数学分层测试卡》恰恰能提高学生学习数学的兴趣，帮助学生树立自信心，激励学生去学习，去实现自我。

《数学分层测试卡》能激发和培养学生学习数学的兴趣，使没及过格的学生得到100分，使学习被动的学生尝到主动学习的甜头，使每一个学生都享受到成功的喜悦，进而使他们对数学知识产生浓厚的兴趣。学生一旦对数学知识产生兴趣，将会产生巨大的认知能力。学习兴趣会帮助学生自觉地集中注意力，主动地进行思考，全神贯注地投入学习，会促使他们产生愉快的情绪，以最佳的心态接受教学信息。所以数学教学的成效，在很大程度上取决于学生对数学学习的兴趣。

学生对数学学习的浓厚兴趣、强烈的情感会帮助学生树立自信心。有自信心的人，靠自己的力量去实现目标，变不可能为可能，变可能为现实。这样，学生对数学学习的兴趣更浓，学生的认知能力得到提高，从而形成数学学习习惯的良性循环。

传统的教学方法，往往迫使学生机械、被动地学习，而忽视对学生学习心理素质的培养，致使部分学生产生学习的厌倦心理，这是课堂中实施素质教育的障碍。而使用《数学分层测试卡》的课堂，要求教师根据《数学分层测试卡》优化课堂教学，充分了解学生学习数学的认知规律、心理特征及障碍，真正起到了良好的促进作用。这种课堂充分挖掘了学生的认知潜力，调动了学生的思维功能。现代数学教育思想要求教师帮助学生维持最佳的学习心理状态，培养学生良好的数学认知结构和思维品质，选择适合学生的最佳的学习方法，创造最佳的学习效果。我相信分层教学一定会在数学教学中发挥其内在的更大的作用。

（作者单位：北京市房山区良乡三中）

（责任编辑：任媛媛）

如图1中的（3），已知：⊙O中当∠AOB不是直角时，求∠C、∠D、∠E的度数。有了前两图作基础，学生容易猜想它们的度数应等于A⌒B的度数的一半。此时，让学生观察圆心O与∠C、∠D、∠E三个角的位置关系。教师提出：要想研究圆周角与它所对的弧的度数之问的关系，图应当怎样画？学生很容易画出三种情况。

接着我再引导学生完成图2中（1）图的证明，其余两图的证明由学生自己完成。得出定理内容，再分层举例、分层练习、分层检测，结束此堂课。整堂课由特殊到一般，再由一般到特殊，学生为课堂主体，参与发现课堂全过程。在教师的引导下，学生利用原认知结构，通过认知活动，建立起新的认知结构，这符合学生的认知规律。通过分层检测、分层作业，我了解到第1、2个目标完成得很好。在以后讲弦切角度数定理时，学生通过互相研究，班中已有7～8个同学能够想到分类讨论进行证明，这说明他们已初步理解了分类讨论的思想并有了一定的思考能力。通过使用《数学分层测试卡》，我认识到不要把它只当成分层练习、分层检测的工具，它还起到了引导教师优化课堂教学结构的关键作用。它能促使教师由浅入深、有条不紊地完成教学过程，以达到不同教学目标的要求。它还可以优化学生的认知结构，进而提高学生的数学素质。

下表是2001届本校两个学习困难生班使用《数学分层测试卡》前后，（初二期末与初三期中）数学成绩比较表（见表1）。

四、《数学分层测试卡》的实施效果

数学教学过程是以认知为基础的复杂的心理过程，是一种特殊的认知活动过程。这个过程的心理因素可以分为两类：一类是与认知过程直接有关的（智力因素），另一类是与认识过程有关的（非智力因素）。通常所说的培养学生的非智力因素即培养学生具有强烈的求知欲、广泛的兴趣、积极的情绪、良好的学习动机、顽强的意志、坚定的信念和主动进取的心理品质。而《数学分层测试卡》恰恰能提高学生学习数学的兴趣，帮助学生树立自信心，激励学生去学习，去实现自我。

《数学分层测试卡》能激发和培养学生学习数学的兴趣，使没及过格的学生得到100分，使学习被动的学生尝到主动学习的甜头，使每一个学生都享受到成功的喜悦，进而使他们对数学知识产生浓厚的兴趣。学生一旦对数学知识产生兴趣，将会产生巨大的认知能力。学习兴趣会帮助学生自觉地集中注意力，主动地进行思考，全神贯注地投入学习，会促使他们产生愉快的情绪，以最佳的心态接受教学信息。所以数学教学的成效，在很大程度上取决于学生对数学学习的兴趣。

学生对数学学习的浓厚兴趣、强烈的情感会帮助学生树立自信心。有自信心的人，靠自己的力量去实现目标，变不可能为可能，变可能为现实。这样，学生对数学学习的兴趣更浓，学生的认知能力得到提高，从而形成数学学习习惯的良性循环。

传统的教学方法，往往迫使学生机械、被动地学习，而忽视对学生学习心理素质的培养，致使部分学生产生学习的厌倦心理，这是课堂中实施素质教育的障碍。而使用《数学分层测试卡》的课堂，要求教师根据《数学分层测试卡》优化课堂教学，充分了解学生学习数学的认知规律、心理特征及障碍，真正起到了良好的促进作用。这种课堂充分挖掘了学生的认知潜力，调动了学生的思维功能。现代数学教育思想要求教师帮助学生维持最佳的学习心理状态，培养学生良好的数学认知结构和思维品质，选择适合学生的最佳的学习方法，创造最佳的学习效果。我相信分层教学一定会在数学教学中发挥其内在的更大的作用。

（作者单位：北京市房山区良乡三中）

（责任编辑：任媛媛）

如图1中的（3），已知：⊙O中当∠AOB不是直角时，求∠C、∠D、∠E的度数。有了前两图作基础，学生容易猜想它们的度数应等于A⌒B的度数的一半。此时，让学生观察圆心O与∠C、∠D、∠E三个角的位置关系。教师提出：要想研究圆周角与它所对的弧的度数之问的关系，图应当怎样画？学生很容易画出三种情况。

接着我再引导学生完成图2中（1）图的证明，其余两图的证明由学生自己完成。得出定理内容，再分层举例、分层练习、分层检测，结束此堂课。整堂课由特殊到一般，再由一般到特殊，学生为课堂主体，参与发现课堂全过程。在教师的引导下，学生利用原认知结构，通过认知活动，建立起新的认知结构，这符合学生的认知规律。通过分层检测、分层作业，我了解到第1、2个目标完成得很好。在以后讲弦切角度数定理时，学生通过互相研究，班中已有7～8个同学能够想到分类讨论进行证明，这说明他们已初步理解了分类讨论的思想并有了一定的思考能力。通过使用《数学分层测试卡》，我认识到不要把它只当成分层练习、分层检测的工具，它还起到了引导教师优化课堂教学结构的关键作用。它能促使教师由浅入深、有条不紊地完成教学过程，以达到不同教学目标的要求。它还可以优化学生的认知结构，进而提高学生的数学素质。

下表是2001届本校两个学习困难生班使用《数学分层测试卡》前后，（初二期末与初三期中）数学成绩比较表（见表1）。

四、《数学分层测试卡》的实施效果

数学教学过程是以认知为基础的复杂的心理过程，是一种特殊的认知活动过程。这个过程的心理因素可以分为两类：一类是与认知过程直接有关的（智力因素），另一类是与认识过程有关的（非智力因素）。通常所说的培养学生的非智力因素即培养学生具有强烈的求知欲、广泛的兴趣、积极的情绪、良好的学习动机、顽强的意志、坚定的信念和主动进取的心理品质。而《数学分层测试卡》恰恰能提高学生学习数学的兴趣，帮助学生树立自信心，激励学生去学习，去实现自我。

《数学分层测试卡》能激发和培养学生学习数学的兴趣，使没及过格的学生得到100分，使学习被动的学生尝到主动学习的甜头，使每一个学生都享受到成功的喜悦，进而使他们对数学知识产生浓厚的兴趣。学生一旦对数学知识产生兴趣，将会产生巨大的认知能力。学习兴趣会帮助学生自觉地集中注意力，主动地进行思考，全神贯注地投入学习，会促使他们产生愉快的情绪，以最佳的心态接受教学信息。所以数学教学的成效，在很大程度上取决于学生对数学学习的兴趣。

学生对数学学习的浓厚兴趣、强烈的情感会帮助学生树立自信心。有自信心的人，靠自己的力量去实现目标，变不可能为可能，变可能为现实。这样，学生对数学学习的兴趣更浓，学生的认知能力得到提高，从而形成数学学习习惯的良性循环。

传统的教学方法，往往迫使学生机械、被动地学习，而忽视对学生学习心理素质的培养，致使部分学生产生学习的厌倦心理，这是课堂中实施素质教育的障碍。而使用《数学分层测试卡》的课堂，要求教师根据《数学分层测试卡》优化课堂教学，充分了解学生学习数学的认知规律、心理特征及障碍，真正起到了良好的促进作用。这种课堂充分挖掘了学生的认知潜力，调动了学生的思维功能。现代数学教育思想要求教师帮助学生维持最佳的学习心理状态，培养学生良好的数学认知结构和思维品质，选择适合学生的最佳的学习方法，创造最佳的学习效果。我相信分层教学一定会在数学教学中发挥其内在的更大的作用。

（作者单位：北京市房山区良乡三中）

（责任编辑：任媛媛）