中考中“数与代数”综合题的分类探析

刘宗安

“数与代数”综合题是初中数学中知识覆盖面较广，综合性较强，解题方法较灵活、多样的题型之一。纵观近几年的中考试题，“数与代数”综合题是中考试题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，这类题主要以方程（组）、不等式（组）或函数为基础进行综合。解题时一般用分析综合法解，要认真读题，找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题。中考中“数与代数”综合题涉及的知识类别通常是“你中有我，我中有你”，因此不易将它们十分明显的分类。为了复习方便，我们将其分为四类：

1、以方程（组）为主的“数与代数”综合题

例1、（2013·娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元。已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元。

（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？

（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？

【简析】（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率1-12得出等式方程求出即可；

（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可。

【点拨】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程。

2、以不等式（组）为主的“数与代数”综合题

例2、（2012·福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。

（1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？

（2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？

【简析】（1）设小明答对了x道题，则有（20-x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解；

（2）小亮答对了y道题，则有（20-y）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于y的不等式组，从而求得y的范围，再根据y是非负整数即可求解。

【点拨】本题通过两个问题，考查学生列方程、不等式组解决实际问题的能力，体现数学问题源自现实生活，而又为更好地解决现实问题的辩证规律，正确列式表示出最后的得分是本题解题的关键。

3、以函数为主的“数与代数”综合题

（1）函数与方程（组）相结合。

（1）若该专卖店计划用42000元进货，则这两种新款服装各购进多少件？

（2）若乙的数量不能超过甲的数量的2倍，试问：应怎样进货才能使专卖店在销售完这批服装时获利最多？并求出最大利润。

【简析】（1）设甲种新款服装购进x件，表示出乙种新款服装购进（100-x）件，然后根据进货款=甲种新款服装的进货款+乙种新款服装的进货款，列出方程求解即可；

（2）设该专卖店销售完这批服装可获利润w元，根据获利等于两种新款服装的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值。

【点拨】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性来解题，理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键。

（2）函数与不等式（组）相结合

例4、（2013·遂宁）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务。为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商。经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费。另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人。

【点拨】本题考查了根据已知条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点。

（3）方程（组）、不等式（组）、函数相结合

例5、（2013·攀枝花）某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。

（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

【简析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。故选C。

【点拨】本题是跨学科试题，本题考查函数值随时间的变化问题。注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决。

总之，中考中对“数与代数”综合题的考查，一方面立足于“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”、“函数”的核心内容，注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证求解的正确性与合理性的过程，实现对“基础知识与基本技能”的内化；另一方面，中考试题中以问题为载体，通过分解问题的构成要素（条件和结论），分析问题中解的存在性和规律性，寻求不同的解题策略（建模与变式），将数学思维方式融入到对具体问题的探究之中。解答“数与代数”综合题的关键是正确理解并理顺题目中已知和未知之间的关系，综合运用方程（组）、不等式（组）的知识和函数图象的有关性质建立关系式，从而达到解决问题的目的。endprint

“数与代数”综合题是初中数学中知识覆盖面较广，综合性较强，解题方法较灵活、多样的题型之一。纵观近几年的中考试题，“数与代数”综合题是中考试题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，这类题主要以方程（组）、不等式（组）或函数为基础进行综合。解题时一般用分析综合法解，要认真读题，找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题。中考中“数与代数”综合题涉及的知识类别通常是“你中有我，我中有你”，因此不易将它们十分明显的分类。为了复习方便，我们将其分为四类：

1、以方程（组）为主的“数与代数”综合题

例1、（2013·娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元。已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元。

（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？

（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？

【简析】（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率1-12得出等式方程求出即可；

（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可。

【点拨】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程。

2、以不等式（组）为主的“数与代数”综合题

例2、（2012·福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。

（1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？

（2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？

【简析】（1）设小明答对了x道题，则有（20-x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解；

（2）小亮答对了y道题，则有（20-y）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于y的不等式组，从而求得y的范围，再根据y是非负整数即可求解。

【点拨】本题通过两个问题，考查学生列方程、不等式组解决实际问题的能力，体现数学问题源自现实生活，而又为更好地解决现实问题的辩证规律，正确列式表示出最后的得分是本题解题的关键。

3、以函数为主的“数与代数”综合题

（1）函数与方程（组）相结合。

（1）若该专卖店计划用42000元进货，则这两种新款服装各购进多少件？

（2）若乙的数量不能超过甲的数量的2倍，试问：应怎样进货才能使专卖店在销售完这批服装时获利最多？并求出最大利润。

【简析】（1）设甲种新款服装购进x件，表示出乙种新款服装购进（100-x）件，然后根据进货款=甲种新款服装的进货款+乙种新款服装的进货款，列出方程求解即可；

（2）设该专卖店销售完这批服装可获利润w元，根据获利等于两种新款服装的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值。

【点拨】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性来解题，理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键。

（2）函数与不等式（组）相结合

例4、（2013·遂宁）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务。为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商。经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费。另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人。

【点拨】本题考查了根据已知条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点。

（3）方程（组）、不等式（组）、函数相结合

例5、（2013·攀枝花）某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。

（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

【简析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。故选C。

【点拨】本题是跨学科试题，本题考查函数值随时间的变化问题。注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决。

总之，中考中对“数与代数”综合题的考查，一方面立足于“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”、“函数”的核心内容，注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证求解的正确性与合理性的过程，实现对“基础知识与基本技能”的内化；另一方面，中考试题中以问题为载体，通过分解问题的构成要素（条件和结论），分析问题中解的存在性和规律性，寻求不同的解题策略（建模与变式），将数学思维方式融入到对具体问题的探究之中。解答“数与代数”综合题的关键是正确理解并理顺题目中已知和未知之间的关系，综合运用方程（组）、不等式（组）的知识和函数图象的有关性质建立关系式，从而达到解决问题的目的。endprint

“数与代数”综合题是初中数学中知识覆盖面较广，综合性较强，解题方法较灵活、多样的题型之一。纵观近几年的中考试题，“数与代数”综合题是中考试题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，这类题主要以方程（组）、不等式（组）或函数为基础进行综合。解题时一般用分析综合法解，要认真读题，找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题。中考中“数与代数”综合题涉及的知识类别通常是“你中有我，我中有你”，因此不易将它们十分明显的分类。为了复习方便，我们将其分为四类：

1、以方程（组）为主的“数与代数”综合题

例1、（2013·娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元。已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元。

（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？

（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？

【简析】（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率1-12得出等式方程求出即可；

（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可。

【点拨】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程。

2、以不等式（组）为主的“数与代数”综合题

例2、（2012·福州）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。

（1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？

（2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？

【简析】（1）设小明答对了x道题，则有（20-x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是68分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解；

（2）小亮答对了y道题，则有（20-y）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于y的不等式组，从而求得y的范围，再根据y是非负整数即可求解。

【点拨】本题通过两个问题，考查学生列方程、不等式组解决实际问题的能力，体现数学问题源自现实生活，而又为更好地解决现实问题的辩证规律，正确列式表示出最后的得分是本题解题的关键。

3、以函数为主的“数与代数”综合题

（1）函数与方程（组）相结合。

（1）若该专卖店计划用42000元进货，则这两种新款服装各购进多少件？

（2）若乙的数量不能超过甲的数量的2倍，试问：应怎样进货才能使专卖店在销售完这批服装时获利最多？并求出最大利润。

【简析】（1）设甲种新款服装购进x件，表示出乙种新款服装购进（100-x）件，然后根据进货款=甲种新款服装的进货款+乙种新款服装的进货款，列出方程求解即可；

（2）设该专卖店销售完这批服装可获利润w元，根据获利等于两种新款服装的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值。

【点拨】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性来解题，理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键。

（2）函数与不等式（组）相结合

例4、（2013·遂宁）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务。为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商。经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费。另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人。

【点拨】本题考查了根据已知条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点。

（3）方程（组）、不等式（组）、函数相结合

例5、（2013·攀枝花）某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。

（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

【简析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。故选C。

【点拨】本题是跨学科试题，本题考查函数值随时间的变化问题。注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决。

总之，中考中对“数与代数”综合题的考查，一方面立足于“数与式”、“方程（组）与不等式（组）”、“函数”的核心内容，注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证求解的正确性与合理性的过程，实现对“基础知识与基本技能”的内化；另一方面，中考试题中以问题为载体，通过分解问题的构成要素（条件和结论），分析问题中解的存在性和规律性，寻求不同的解题策略（建模与变式），将数学思维方式融入到对具体问题的探究之中。解答“数与代数”综合题的关键是正确理解并理顺题目中已知和未知之间的关系，综合运用方程（组）、不等式（组）的知识和函数图象的有关性质建立关系式，从而达到解决问题的目的。endprint