构一次函数模型寻找最佳方案

徐海 黄健

模型构建：一般地，一次函数的图象是一条直线，图象没有最高点，也没有最低点. 然而，当其自变量的取值范围受到一定限制时，其图象可能是一条射线、一条线段或一条直线上的几个点，从图象上看，就有了最高点或最低点. （也就是一次函数有了最大值或最小值）

模型应用：（2019·山东·滨州）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人.  （1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点. 若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.

反思：构建一次函数，不仅要求出一次函数的关系式，而且要求出自变量的取值范围.根据函数的性质，取自变量的端点值，求函数的对应值，即为函数的最小值（或最大值）. 利用一次函数的性质求最大值或最小值，不仅在实际生活和工作中有着广泛的应用，而且在数学学习中有利于培养探究优选方案的能力，在中考时它备受命题者青睐.

（2019·江苏·连云港）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲种产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙种产品可获得利润0.4萬元. 设该工厂生产了甲种产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）. （1）求y与x之间的函数表达式;（2）若每生产1吨甲种产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙种产品需要A原料0.5吨. 受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其他原料充足. 求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.

答案：（1）y = - 0.1x + 1000（0 ≤ x ≤ 2500） （2）甲种产品1000吨，乙种产品1500吨