变出精彩,提高效率

倪昀倩

［摘要］ 本文以“相似三角形的应用”为例，围绕课堂教学中的教学内容进行问题设计和变式设计，通过实践反思归纳出举一反三不可过度、在变式的过程中引导学生思考、体现教师的主导地位和学生的主体作用等.

［关键词］ 问题变式；问题设计；效率

与其他学科相比，数学更多地以“问题”的形式出现，所以我们常说“问题是数学的心脏”. 变式训练问题是数学问题的一类，和简单的操练不同，每次训练较之前次有所变化，添加一些新的内容，要求用一些新的技巧. 变式教学是我国数学教学的优良传统，实践证明，它是一种有效的教学策略. 下面以一节“相似三角形的应用”的变式问题设计进行探讨．

■ 课堂教学问题设计

1. 教学内容说明

本节课是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册“10.7相似三角形的应用”第2课时，教学任务是：了解中心投影的概念和性质；在一定条件背景下构建数学模型，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决中心投影相关问题．

问题设计从学习中心投影的概念及相关性质之后开始．

2. 问题设计

问题：?摇（1）如图1所示，小明身高CD=1.6 m，站在离路灯杆AB底部6 m的点D处，画出小明在路灯AB照射下的影子DE.

（2）此时测量出小明的影长DE＝2 m，请求出路灯杆AB的高度.

（3）小明继续往前走到点E处，请求出此时小明的影长. 小明的影子变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

设计说明针对学生直接求解教材原题有困难的情况，设计本题做铺垫，一来分解难度，二来为利用相似三角形知识解决中心投影问题提炼出数学模型，明确问题的本质. 在这个数学模型中，有四个量，即灯杆高度、物体高度、影长、物体与灯杆之间的距离. 如图2所示，利用相似三角形的性质得■=■，四个量知三可求一，可转化为一元一次方程问题求解. 后面的各变式问题均围绕该模型展开．

变式1有一路灯杆AB，小明身高CD＝1.6 m，灯光下在点D处测得自己的影长DE=3 m，你能求出路灯杆AB的高度吗？

设计说明?摇变式1从原题出发，少了物杆距离，一次测量只能满足已知两个条件，知二无法求二，这就引发了认知冲突，启发学生想到二次测量解决问题. 题目的变化并没有引起数学模型的变化，只是有两个未知数，从原来的一元方程变成了二元方程. 如图3所示，利用相似三角形的性质，得关于灯杆长、物杆距离1的二元一次方程组：■=■，■=■.

变式问题使学生学习时不只停留于问题的表象，而能自觉地从本质看问题，同时也能学会比较全面地看问题．

变式2?摇 如图4所示，在距离墙20 m处有一路灯AB，AB＝9.6 m，当身高1.6 m的小明站在距离墙2 m处时，请画出他的影子，并计算他头顶的影子距离墙角点O的距离．

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设计说明?摇 变式2投影分地上、墙上两部分，也是生活中的实际情况. 学生利用“把墙推倒”和“把地面抬高”这两种方法将问题转化为原来的数学模型，如图5和图6所示. 本题还可以引导学生自己变式，如墙变化为台阶等．

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通过变式强化化归转化的数学思想，而一题多解可以引导学生多渠道地思考问题，有利于提高学生的学习积极性，培养参与意识，也能有效地训练学生思维的创造性．

变式3?摇如图7所示，小明身高1.6 m，路灯AB和PQ的高度都是6.4 m，晚上小明由路灯AB走向路灯PQ，当小明走到点D时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AB的底部，当他向前再步行8米到达点F时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯PQ的底部. （1）证明：BD＝FQ；（2）求两路灯之间的距离.

设计说明本变式注重解题的技巧，如第（1）题在说明线段相等时，只要将两线段的比■和■分别看成一个整体，通过■=■等量代换即可得到相等．

在变式训练中，有许多是解题方法的训练，数学的价值不仅要建立数学模型、理解数学概念和数学定理的意义，数学的解题方法和基本技巧也是训练思维的重要手段，离开了常规的解题变式训练，也就把数学真谛的另一半丢掉了．

3. 实践反思

变式是通过变更对象的非本质特征，变更观察事物的角度或方法，突出对象的本质特征，突出那些隐藏的本质要素．

对数学而言，变式的形式主要包括：（1）变换解题方法. （2）对例题、习题的变化或引申，比如将问题一般化、特殊化，改变条件、结论或互换条件结论等. （3）变换问题的呈现方式，如改变题目的背景、题型等. （4）改变数字、符号．

变式的目的是为了更好地凸显知识的本质属性，帮助学生更好地理解、掌握知识，达到举一反三、触类旁通的效果，提高思维能力．

（1）举一反三不可过度

数学问题变式教学通过水平变式题的适当“重复”，同时通过垂直变式题的恰到“突破”，使得学生思维得以尽情发散，学生分析问题、解决问题的能力得以进一步提高，而水平变式题“重复”的量和垂直变式题“突破”的度的把握并不简单，是进行数学问题变式教学最值得研究的一个问题．

笔者在实践本课例时，第一次授课对象为本校艺术班学生（学生整体学习水平较高），变式3后还做了如下拓展：小明站在D处时的另一个影子的长为多少？再往PQ走1 m，此时两个影子的长又分别是多少？观察两处两个影长之间的数量关系，你有何新发现？你能用数学道理说明吗？大部分学生能自己发现结论，并尝试证明，但第二次在普通班授课时，只有四分之一的学生发现结论并无法证明，那么，面对这群授课对象，此处的变式已经过度，反而失去了原有的意义．

（2）在变式的过程中引导学生思考

解决本课例原题的3个变式问题时，教师重点引导学生透过实际问题发现本质. 首先根据题目画出简图，通过添加辅助线呈现点光源照射下的基本图形以及模型，再结合已知数据列出方程解答. 其中得到基本模型是解决问题的关键，也是难点所在. 实际教学中反映，学生能轻松处理变式1，至此教师应再次明确本节课的主题，在处理接下来的两个变式时学生就能围绕学习主题添加辅助线. 通过适量的变式，学生能掌握适当难度的此类题型．

（3）体现教师的主导地位和学生的主体作用

教师要命题，要指导学生解题，要组织学生展示解题的结果和进行讨论辨析，还要对数学知识和数学思想方法进行总结；而学生要参与解题、展示，参与辨析正误，他们中的每一个人都有充分的发言机会，以表达各种不同的想法和意见. 最后，问题的解决要由学生亲自去完成. 这样，学生才能真正成为学习的主人，才能提高课堂教学效益．

4. 进行变式问题训练的注意点

进行问题变式可分为以下步骤：原题讲解清楚，挖出问题本质，而且学生能够内化；在逐步展开的变式中，学生练习，理清思路，进一步理解问题本质；教师带领学生弄清变式与原题的不同点与本质相同点，渗透变中不变的思想；最后通过原题与变式完善知识体系．

结合教学实践及对实践的反思，笔者提出在初中数学课进行变式问题训练要注意以下几点：

（1）源于课本，高于课本

课本的例、习题等都是专家精心设计和挑选的精品，我们要充分利用课本，选准具有示范性、发散性、重点突出的典型问题，挖掘其精神实质进行一题多变．

（2）循序渐进，有的放矢

变式要针对教学目标和所教学生的学情，由易到难，有梯度地展开，不可一步到位. 针对不同的授课调整变式教学服务的对象. 例如，新授课的习题或概念变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式适当渗透一些数学思想和方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想方法，还要进行纵向和横向的联系．

（3）把握变式的“度”与“量”

由于所教内容不同，所教学生层次不同，变式的“量”和“度”在教学中要做精心设计，同时结合课堂教学进行适当地调整与改变. 过多、过难都不可取，关键要“精”，要有典型性和代表性．

（4）提倡学生参与变式?摇

问题变式并不是教师的“专利”，只要是学生能够引申的，教师绝不包办代替；学生引申有困难的，可在教师的点拨与启发下完成．

（5）注意适用范围，培养严谨思维

在学习定理、公式的教学过程中，运用变式教学可以明确公式、定理的条件、结论、适用范围和注意事项等关键之处，让学生深入理解定理、公式的本质．

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律. 只有组织合理的变式才能真正有效地促进学生的有意义的主动学习，才能帮助他们构建良好的知识结构，发展他们灵活的问题识别能力和问题解决能力，才能真正提高课堂效率．