从被动到自主,让“尺规作图”走向“低耗高效”

王小林

［摘要］ 尺规作图教学中的难度存在于学生的实际应用中. 本文以苏科版初中数学教材为例，试图对“尺规作图”教学方法进行整理，给学生补充能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法灵活应用的目的.

［关键词］ 基本作图；灵活运用；提升能力

下面是前不久一次周末作业中出现的一道试题，对于（1）（2）题，大部分同学没问题，对于（3），却大相径庭，几乎无人问津.

试题?摇如图1所示，已知∠AOB．

■

?摇?摇?摇?摇……

（3）运用你所学的数学知识，在图2中再设计一种方法，作出∠AOB的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只需在图中保留作图痕迹）．

分析?摇很多学生对于第（3）小问无从下手，他们只知道用直尺和圆规可以作出角平分线，因为老师上课时讲了利用“SSS”可以作出角平分线；另一方面，老师觉得：哎！这些学生怎么就“一根筋”呢？利用等腰三角形的轴对称性、角平分线的性质、构造全等三角形都可以作出角平分线啊！针对这对矛盾心理，笔者结合自己几年来的教学实践，谈一下自己的认识和体会，以求教于同行.

■ “尺规作图”教学现状

教材中的“尺规作图”是教材正文的补充和延伸，是重要的课程资源. 通过作图，一方面可以进一步理解和巩固教师讲授的知识，把握基础知识的稳定信息；另一方面，更重要的是向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，使他们获得广泛的数学活动经验，变学生的学习过程为在教师引导下知识的“再创造”过程. 但是，由于教材或教师的教学用书没有对“尺规作图”的使用作出说明，导致很多一线教师不能领会编者意图，从而思想上没能引起重视，往往被一些教师所忽视. 或仅限于课本中的几道基本例题，使学生丧失了体验教材的机会. 同时，在升学指挥棒的功利主义影响下，“尺规作图”成为一种“摆设”，他们认为只要布置学生按课本要求会画图就可以了，这些都与课改的要求相悖.

■ “尺规作图”编入教材的原因

1. “尺规作图”是初中生必须掌握的基本技能

尺规作图内容的编排是分散在各章书介绍的，这样便于基础知识和作图方法的联系，使学生既懂画法，又明了它的理论根据. “尺规作图”精心设计呈现形式，改进栏目设置、版面设计等方面，用学生喜闻乐见的形式呈现教材内容，帮助学生进入学习情境，激发学生学以致用、积极作图的兴趣，为学习几何拓宽思路，同时对培养几何证明题中如何作辅助线也有所启迪.

2. “尺规作图”向学生渗透数学思想方法提供了丰富的素材

数学知识是数学思想的载体，数学思想通过知识来体现. 但是，由于初中阶段的学生领悟能力比较有限，即使他们知道了知识，却不一定能领会其思想. 事实上，我们通过指导学生解决“尺规作图”中出现的问题，将所学的数学思想方法及时加以运用，更有助于学生感受数学思想的价值，潜移默化地培养和提高学生的思维能力. 笔者根据多年的教学经验，在教这部分内容时虽增加了一些内容，但并非增加学生负担，并收到了良好的效果.

■ “尺规作图”教学策略

1. 加强背景与联系，突出教材的指导

教材是以精选的现实生活和数学发展中的典型问题为背景的. 作为教师，我们应在吃透教材的基础上积极领悟隐含于教材的数学思想和方法. 我们通过对“讨论”的引申、拓展，挖掘教材编写者的“言外之意”，弹奏出教材文本的“弦外之音”，让学生感受尺规作图的引入是自然的；我们通过以问题引导学习，使学生经历尺规作图的概括、抽象过程，从而体会数学的研究方法；我们通过解决具有真实背景的问题，让学生感受数学与生活的联系，体现数学的模型思想，发展学生的应用意识.

例如，苏科版八上教材在“过直线外一点作已知直线的垂线”前，安排了一个讨论：如图3所示，PC＝PD，QC＝QD，PQ，CD相交于点E. （1）根据以上条件，你能得出哪些结论呢？（2）PQ⊥CD吗？请写出说理过程.

■

分析?摇教材中讨论内容的设计，是为后面“用直尺和圆规经过直线AB外一点P作AB的垂线”作铺垫. 但从问题中发现，线段的结论过渡到作图的引入，这将是一个难点. 所以，备课时，我设计了这样一个教学环节：我们把CD演变成一条直线（老师画出直线l），和上图一样，直线l外有一点P，我们能经过P点作出直线l的垂线吗？同样的方法，你能作出图3中的点Q吗？通过分步教学，问题迎刃而解. 通过这个教学片段，我觉得，我们可以根据学生的特点，重新整理教材内容，让学生在最短的时间内得到最大的收获.

2. 用问题引导思维，用活动培养能力

在数学教学中，问题是引发学生思维与探索活动的向导，是学生课堂学习活动的载体. 通过问题，可以把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机地联系起来，使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构；通过问题，能使学生主动探究，发现数学的内在规律，认识、理解数学的本质. 作为教师，我们不仅应让学生在学习中经历发现问题、提出问题并解决问题的过程，感受知识的形成过程，更要关注“学生学完本节内容后将获得什么发展”，而不再是“学生要学什么内容”，强调的不再是一个简单的学习性目标，而是学生的发展性目标和生命性目标，这正是课改应有的方向，利于课堂从“知识型课堂”向“智慧型课堂”转变.

例如，学习全等三角形和等腰三角形的轴对称性后，作为教师，可以适时进行补偿教学，大胆发问：“你能用刻度尺画一个已知角的平分线吗？”

分析?摇根据题意，作图工具只有刻度尺，而刻度尺的功能可以度量长度，所以我们可以通过构造两个全等三角形或者利用等腰三角形的轴对称性，使问题迎刃而解. 法一（如图4所示），①利用刻度尺在∠AOB的两边分别取OC=OD；②连结CD，利用刻度尺画出CD的中点P；③画射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线. 法二，①利用刻度尺在∠AOB的两边分别取OC=OD；②过C，D两点分别作OA，OB的垂线，两垂线交于点P；③作射线OP，OP就是所求的角平分线.

■

■

3. 注重过程，制造机会引导学生“讲”数学

在“尺规作图”教学中，我们不必拘泥于一个方向、一个框架而向四面八方延伸，可使学生的思维纵横交错，构成丰富多彩的、生动的“意识之网”，而这张网可以迅速、灵活地“编”出多种多样的意识产品，这是让学生“讲”数学的好时机. 让学生“讲”，主要是讲作图思路，讲思考分析的过程，反思和总结所用的知识点、解题策略、蕴涵的数学思想，如果能把别人讲明白、讲懂、讲会，那么他对“尺规作图”理解的深刻程度将远远超出听老师讲解. 同时，让学生“讲”，有利于培养学生反思、交流和积累数学活动经验，培养学生的数学交流能力，同时能调动学生参与活动的积极性，参与活动的热情.

例如，下面是使用不同的工具画一个角（∠AOB）的平分线，你能说明这些画图的正确性吗（图略）？

（1）用刻度尺与三角板：①用刻度尺在OA，OB上分别截取OC＝OD；②分别过C，D画EC⊥OA，ED⊥OB，EC与ED相交于点E；③画射线OE，则OE就是角平分线.

（2）用刻度尺：①用刻度尺分别在OA，OB上截取OC＝OD；②连结CD，并用刻度尺画出CD的中点E；③画射线OE，则OE就是角平分线.

（3）用刻度尺：①用刻度尺分别在OA，OB上截取OC＝OD；②再用刻度尺在OA，OB上分别截取OM＝ON；③连结CN，DM交于点E；④画射线OE，则OE就是角平分线.?摇

分析这是作一个角的角平分线常见的几种方法，充分展现“条条道路通罗马”. 通过引导学生尝试说题，让学生知道：为什么这样做？为什么想到这样做？为什么这样表达而不那样表达？好方法是怎么想到的？使学生在说中进一步理清思路，优化解题认识链，养成反思的习惯，真正让学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，充分体现“我的课堂，我做主”的新课改教学理念.

“尺规作图”是一种过程，“慢”是与生俱来的秉性. 唯有慢才能让操作过程步步留痕；唯有慢，才能让猜想验证踏踏实实；也只有慢才能让学生真正积淀活动经验，生长实实在在的生命感悟……

“尺规作图”是一个过程，需要时间的支持和空间的承载. 我们只有让学生站在知识形成的高度俯瞰知识的来龙去脉和知识间的关系，真正经历数学学习过程，才能达成课堂的实效.