让数学知识的应用性得到真正彰显

杭石琴

［摘要］ 数学知识的应用性往往是考查学生对数学知识的掌握情况，同时考查学生对数学知识的应用能力. 本文作者结合自己的实践经验，以“反比例函数的应用”为例，谈谈自身的思考与做法.

［关键词］ 初中数学；数学知识；应用性

在初中数学系列知识中，有一类知识是属于应用性质的，“反比例函数的应用”即属此类. 这类知识在实际的数学教学中，总是被当成习题课来教，这体现了现实评价需要下的“应用性”，但实际上习题的解答并不完全是应用，因而现行观点一致认为要将数学知识的应用性落到实处，要让数学知识的应用性在学生的思维中得到真正彰显，这样才能培养学生对数学知识完整的认识，也才能真正促进学生数学素养的提高.

首先必须提及的是，数学知识的应用性往往是考查学生对数学知识的掌握情况，同时考查学生对数学知识的应用能力. 这种应用不仅仅是解题方面的，其实也包括命题方面的. 如果我们能够从教者或者命题者的角度来思考数学知识的应用，会发现，知识的应用既包括对问题的解决，也包括对问题的设计. 因此，知识的应用性是一个设计与解决共同组合的问题. 其次，必须强调的是，数学知识的应用性不仅体现在数学上面，还体现在学生身上. 也就是说，数学知识的应用性最终是通过学生的努力去完成的，因此，真正的应用性必定是符合学生认知规律的，必须与数学知识发展的规律相吻合. 从学生的角度来看，这个过程必定也是为学生所喜欢的.

本文就试以“反比例函数的应用”为例，谈谈自身的思考与做法.

■ 让反比例函数知识变得形象

“反比例函数的应用”是建立在学生对反比例函数及图象与性质的认识基础之上的，其应用性主要体现在两个方面：一是就巩固知识而言，学生必须能够逐步熟练地应用反比例函数、图象及性质去解决初中阶段可能遇到的各种类型的习题；二是就将来的函数知识学习而言，其又蕴涵了此时还没显现但到了后续的学习中就会重点关注的定义域、值域、单调性、奇偶性等，同时本函数还是幂函数的典型代表，因此此处的应用，也应当为学生的后续学习打下基础.

更重要的问题在于，从函数知识开始，学生就会生成一个强烈的认识，即函数知识永远是那么的抽象，数学课堂上成天打交道的就是这些概念与符号，还有图象等. 学生内心容易产生一种想法：我们学这种抽象的东西有什么用？尽管这个问题与数学的实质几乎没有什么联系，但作为教学而言，如果不解决这个问题，就难以真正调动大部分学生的学习兴趣（那种因为对纯粹数学感兴趣的学生毕竟是少数）. 因此，针对初中生的认知特点，作为数学教师，还是要想办法让抽象的数学知识变得形象一些.

对于反比例函数，笔者思考从实际生活中的反比例关系引入本知识的应用，以让学生产生强烈的“数学有用”的认知. 笔者的做法是这样的：通过资料查阅和网络搜索等方法，找到空气的能见度，在一定的情况下，车速与行车时间之间的关系、隐形飞机的隐身能力与载重之间的关系等. 由于这两种情境与初中生的认知兴趣很有关系，前者就与自己的实际生活有关，而后者与绝大多数学生尤其是男学生的兴趣有关，只要将这些关系进行简化，就可以得到存在于这些例子当中的反比例关系. 而当这种关系被赋予数值（可以编制，但要接近实际情形）并在图象上呈现时，则更能激发学生的参与兴趣，从而本知识的应用也就有了一个坚实的兴趣基础.

■ 让反比例函数应用变得顺利

反比例函数相对于正比例函数和一次函数而言，更为复杂，所以学生在理解过程中也会出现更多的困难. 因此，将过程设计得符合学生的认知需要，就成为考验数学教师教学智慧的一个挑战. 笔者应对的策略是这样的：让学生结合上述例子，思考车速与行车时间之间的关系，并判断，若自己以一定的速度行驶，则从家到学校需要多长时间. 在思考这个问题的过程中，车速与时间的图象由教师提供（限于篇幅，此处略去），而从家到学校的距离则由学生自己赋值. 这样的教学设计增加了学生的自主性，学生在赋值这一简单动作的背后存在着一种自己必须解决自己提出的问题的心理，从而让学习过程变得更加符合学生的需要.

在这一过程中，学生通常用到的方法有两个：一种方法是根据函数的方程，利用函数的性质来解决，此处得到的是精确的结果；另一种方法是利用图象，即利用数形结合的思想，此种方法得到的是一个粗略的结果，其精确程度与图象的精确程度有关. 一般情形下，学生不会主动使用这一方法，因此需要教师主动提醒. 但这种方法对于反比例函数的应用而言，却也比较重要，如果不涉及，则反比例函数的应用就不完整.

在这个过程中，笔者的教学实践有二：首先，让学生自主解决；其次是引导学生生成相对完整的解题思路. 至于后者，也就是什么时候引导学生，怎样引导学生，取决于教师对学生自主学习过程的观察与掌控. 笔者在教学过程观察到的情形是这样的：学生起初能够反应出利用图象先求出反比例函数的方程，然后通过赋值的方法去求解. 在学生的这段努力之后，教师则通过画龙点睛式的点拨，即反比例函数本质上是正比例函数的变量关系的变换，是正比例函数的逆向思维，引导学生进行学习. 而在本题中，其实就是路程一定时，速度与时间两者之间的变量关系. 这种化繁为简的点拨可以让学生的思维举重若轻.

除此之外，在反比例函数的应用中还有一道典型的题目，那就是在某容器容积一定的情况下，容器的深度与底面积之间的关系（具体题目此处略去）. 在一般的教学方式中，教师一般会将其加上学生熟悉的某种情境，以吸引学生主动参与，但其实质却没有发生变化. 笔者的思路也不例外，但在改造的时候多动了一点脑筋. 那就是给出命题思路：容器的总体积不变！在此前提下让学生尝试去命题，结果是学生所选题材（容器）不同，但学生的思维都在向反比例函数靠拢，在靠拢的过程中，由于各人的建构能力不同，他们在建构反比例函数时也会表现出不同的水平. 比如，有学生所赋的体积值不合理，导致底面积与深度之间的反比例函数关系虽然成立，却不合常理. 这是数学问题的实际要求，学生很快就能自主发现；随后，有学生设计出了比较合理的反比例函数关系，然后提出了三个具有代表性的问题：一是根据已经赋值的反比例函数图象设计出已知体积，让他人求出底面积与深度关系的问题；二是设计某一个深度让他人去求底面积，或给出底面积让他人去求深度；三是给出某一个实际情境，给长度或宽度设计了一个具体的数值之后，让其他人去求深度. 这三个问题的难度相对平行，也反应了学生的实际思维水平. 而设计问题的过程也是学生自我求解的过程，他们会自己先提供一个供他人参考的答案，以完成自己既命题又解题的过程. 而完成了这个过程之后，反比例函数在学生的应用过程中就会变得更加顺利.

■ 让数学知识的学习变得享受

由反比例函数的应用教学所想到的是，在整个数学知识学习的过程中，学生的学习过程不应当是一个学生口中所说的痛苦的过程，而应当是一个享受的过程. “享受”这个术语并不只是一种浪漫的表达，更是一种相对客观的描述. 从数学发展本身来看，数学家在研究数学问题的过程中，更多的是一种享受. 那为什么我们今天的初中生学习数学过程就变得那么辛苦了呢？这既与现行数学学习的评价有关，也与数学教师的教学取向有关. 人们常说，考试是一根指挥棒，这实际上是教师将自己专业成长的权利交给了外界.

笔者的意思是想说，数学发展本身有自己的规律，数学教学本身也有着自己的规律，而遵循着规律所做的事情一定是一个享受的过程. 就拿反比例函数的教学来说，其应用是在遵循了反比例函数、图象及性质的基础上，通过理解来获得应用技能的. 这是一个符合认知规律的过程，但这种规律是通过教师的教学设计来体现的，通过教师的教学过程来实现的. 如果设计不合理，实施不得当，那学生的学习过程一样有可能变得并不那么享受. 那么，怎样的设计才是合理的，才是有规律的呢？在笔者看来，其实也不是很困难，关键在于研究学生，知道自己所教的学生在认知上有什么特点，知道自己所教的每一届学生都有哪些自身的特点，知道提醒自己不以过去的教学经验来套用现在的学生，知道应当在课堂上顺着学生的思维去及时调整自己的教学策略，那这个过程就会变得有享受的价值了.

总而言之，数学知识的应用性是建立在教师对学生的准确把握基础上的，要想让数学知识的应用性得到真正彰显，关键就在于让学生在适合他们认知需要的情境中，运用自己所习得的数学知识去解决实际问题，直至自己设计数学问题. 如果做到这样，那离有效教学的境界也就不远了.