高中数学教学中函数的对称性教学分析

温福云

【摘要】数学是一门发展历史久远且应用广泛的重要学科。现代社会的发展要求学生能够良好地掌握数学知识，尤其是高中的数学知识，对学生的学业存在着至关重要的影响。函数作为高中数学中的一部分，一直都是各类考试中的重点和热点。函数有很多基本性质，对称性就是其中之一，在解决各类数学问题时，对称性由于其简单、快捷被应用的非常广泛。本文结合具体的教学实例，对高中教学中函数的对称性教学进行了探析。

【关键词】高中教学；函数对称性；分析探究

对称是一种美，广泛存在于生活的方方面面。函数的对称性也属于这美的一种，另外将对称性的性质进行合理地利用还能帮助学生增强创新能力，丰富其逻辑思维。所以，高中数学的函数对称性教学是非常重要的一项环节，教师之间应当多进行交流，以商讨出良好的教学方法和方案，推动高中数学教学的发展。

1 对函数对称性的分析

函数图像自身的对称分为轴对称和中心对称，有的函数图像与图像之间也存在对称。不同的函数对称的位置也不同。教材中阐述了一些关于此方面的性质，如奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称等等。举数学的函数定理来进行对称性探究，例1.定理：函数y=f(x)的图像关于点A(xl，y1)对称的充要条件是f(2xl-x)+f(x)=2yl。

证明：必要性：设函数y=f(x)的图像上存在任意一点P(x，y)

因为点P(x，y)关于点A(xl，y1)的对称点P(2xl-x，2yl-y)也在y=f(x)的图像之上，

所以2 yl-y=f(2xl—x)也就是2yl=f(2xl-x)+y

因此，2yl=f(x)+f(2x1-x)必要性得到证明

充分性：设函数y=f(x)上存在任意一点p(xl，y1)，那么，y=f(x1)

因为f(2xl-x)+f（x)=2y1所以f（xl）+f(2xl-x1)=2yl，也就是2yl-yl=f(2xl-x1)

所以点(2x1-xl，2y1-y1)也在函数y=f(x)的图像上，点P与点P关于点A(xl，y1)对称，充分性得到证明。

推论：函数y=f(x)关于原点对称的充要条件是f(-x)+f(x)=O

例2.若函数 y=f(x)图像既关于点A(a，c)成中心对称又关于直线 x=b成轴对称(a≠6)，

则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期．

因为函数 y=( x)图像关于点A(n，c)成中心对称，

所以f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x带入x,得f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c （1）

又因为函数y=f(x)图像关于直线 x=b成轴对称，所以f(2b-x)=f(x)代入（1）得f(x)=2c-f[2(a-b)+x].（2）用2(a-b)-x代入x，得f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x],代入（2）得f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。

事实表明，数学具有千变万化的题型，教师在给学生进行练习题的布置时，不能只是单纯的运用题海战术。毕竟题是做不完的，教师在留给学生题目时应当对其中所包含的知识点进行反复挖掘，并引申出相应的变式，让学生独立思考进行比较和分析，深层次地学习概念相似及方法相通的类型题，对原来所用的方法有更透彻的理解。避免学生惯性思维的反复出现，最终达到学生自己做题时也能够举一反三的效果。

除却函数对称性自身可以出现的题目，它的应用类型题也非常广泛。例1.：设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)=()

A．0.5B．-0.5 C．1.5 D．-1.5

解：因为y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以点(O，O)是其对称中心．

又因为f(x+2)=-f(x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x)

所以直线x=1是 y=f(x)对称轴，故 y=f(x)是周期为2的周期函数．

所以f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0．5)=-f(0. 5)=-0. 5

故选B．

例2.(第十二届希望杯高二第二试题)定义在R上的非常数函数满足：f(1O+x)为偶函数，

且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是()

A．是偶函数，也是周期函数

B．是偶函数，但不是周期函数

C．是奇函数，也是周期函数

D．是奇函数，但不是周期函数

解：因为f(10+x)为偶函数，所以f(10+x)=f(10-x), 所以f(x)有两条对称轴 x=5与x=1O．

因此f( x)是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0，即y 轴也是f(x)的对称轴，

因此f(x)还是一个偶函数．故选A.

由此可见，函数对称性在解决函数的问题时有至关重要的作用。教师在进行函数的对称性教学过程中，应加强学生对概念本质的理解和掌握，只有学生独立的对问题进行思考和创新，才会体验到数学学习的乐趣，从而提高其学习兴趣，达到事半功倍的教学效果。

2 数学函数对称性的教学策略探究

2.1设置合理的教学课程

函数对称性内容及其思想方法在数学学科中占有非常重要的作用，按照数学教学理念的要求，教学应当加强数学知识和实际生活的联系，并侧重于知识的应用层面。所以，希望在函数对称性的教学过程中，能够进一步加强对其规律特征的探究分析，并合理的设置课程，安排好对此项内容的要求标准。

2.2进行专门的函数对称性知识讲解

由于现在中国的教学仍处在应试教育这样一个大环境下，课堂教学的内容和重点通常是考试大纲中所规定的那些，关于培养学生数学美感和思维视野方面的知识少之又少，成套的数学知识体系讲解完全是为了应试，为了高分。大部分教师为使学生拿到好成绩，基本不做课外知识的讲述，本来是创造性地发散思维的学科却只充满了刻板的讲解和枯燥乏味、无休止的练习。学生完全感受不到数学的美妙思想和其与实际生产生活的紧密联系，降低了学习的兴趣，埋葬了创新的潜力。因此，教师在知识的传授过程中除了讲授考试规定的成套数学体系，一定还要给学生讲解数学知识在实际生活中的应用，各种不同的数学方法，有何科学成果及与其他学科之间存在的关联，还应讲述数学中存在的美和各种能体现这些美的事物。高中数学的函数对称性就很能表现数学之美，并且其思想方法有很广泛的应用和作用。所以，应当对函数对称性章节的知识进行详细的讲解和专门的辅导，提高学生对数学的学习兴趣，培养探究各种数学方法的能力，了解并重视数学思想，从而使学生的数学素养得以提高，为数学的长期性学习奠定良好的基础。

3 结束语

本文对高中数学中的函数对称性知识进行了部分讲解，论述了此阶段内容乃至整个数学学科学习的重要性，指出教育工作者应尽的义务，并对函数对称性的教学方法和策略进行了探究性分析。文章旨在推动我国高中数学教育事业的发展，希望今后的教育教学工作能够更加顺利的进行。

参考文献：

[1]王联华.高中数学教学中函数的对称性教学研究[J].成功（教育版）,2013,(2):44.

[2] 李红伟.函数对称性的探究[J].上海中学数学,2012,(3):45-46.

[3]张峰.函数对称性的探究[J].大观周刊,2012,(34):326-326.

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