三角函数中的拆角思想

刘萍萍

三角函数的计算是高中的一个重要考点。对于一些和角的计算问题，除了掌握和角（差角）及倍角公式之外，还要掌握一些必要的“拆角”技巧，这样可以简化运算。

一、题中就1个角，此角可拆成2个特殊角的和或差

例1 ：不查表求值：①sin15°。②cos75°。③sin105°。④sin（-■ ）。分析：对此类题，先将角化成锐角后，题中的非特殊角等于2个特殊角的和或差。①15°=45°-30°=60°-45°=135°-120°=…… ②75°=30°+45°。③105°=60°+45°。④原式=sin（-2π-■ ）=sin（-■）=-sin15°=-sin（45°-30°）。

二、题中有3个角时，这3个角有和差关系

例2：求■的值。

分析：原式=■=■=tan15°=tan（45°-30°）=2-■。

三、题中有3个角时，结论角=2个条件角的和或差

例3：已知■<β<α<■，cos（α-β）=■，sin（α+β）=-■，求cos2α与cos2β的值。分析：2α=（α-β）+（α+β），2β=（α+β）-（α-β）。解：∵■<β<α<■，∴0<α-β<■，π<α+β<■。∴sin（α-β）=■=■=■，cos（α+β）=-■=-■=-■。∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=-■×■+（-■）×■=-■。

例4：已知α，β为锐角，且cosα=■，cos（α+β）=-■，求cosβ和sinβ的值。分析：cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，由题意知，α为锐角，而α+β为钝角。结果为sinβ=■，sinβ=■。

例5：已知tanα=■，tan（α-β）=-■，则tan（β-2α）=（ ）。A.-■。B.■。C.■。D.-■。分析：tan（β-2α）=tan{-[α+（α-β）]}=-tan[α+（α-β）]=■。

三角函数是以角为自变量的函数，故在具体的解题中需要注意分析角之间的关系，利用角的变换化异角为同角，解题的关键是角的合理拆分与拼凑。“拆角”体现了整体与局部之间的关系，是连接题设条件与待求结论的纽带，是三角函数求值的一种常用方法。其实，具体的角也可以利用这种方法搭建非特殊角与特殊角之间的关系。例如：10°=30°-20°=70°-60°，15°=7°+8°。具体拆的方法，要根据题目而进行灵活选择。

（河南省唐河县教师进修学校）