活动与探究:中点四边形

胡华春

顺次连接任意四边形ABCD的各边中点所组成的四边形称为中点四边形，如图1，它一定是平行四边形. 这个结论是法国数学家皮埃尔·瓦里格农（Pierre Varignon，1654年-1722年）发现的，并且他还发现中点四边形的面积是原四边形面积的一半. 但遗憾的是，他所发现的结论直到他逝世后的1731年才被作为定理发表. 人们为了纪念这位杰出的数学家和力学家，把中点四边形称为瓦里格农平行四边形. 下面，请同学们来一起研究中点四边形与原四边形之间的关系.

活动1 （1） 探索矩形ABCD的中点四边形EFGH是______形.

请你画矩形ABCD和其中点四边形EFGH，如图2，观察猜想四边形EFGH的形状. 由三角形中位线的性质得：HG=AC，HE=BD，又矩形的对角线AC=BD，故HG=HE，所以四边形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中点四边形EFGH是菱形”的逆命题是___________. 这个逆命题是______命题（填“真”或“假”）.

（3） 请你画一个等腰梯形ABCD和它的中点四边形EFGH，如图3.

你一定能说明此时的中点四边形也是菱形. 可见，（2）中的逆命题“四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD是矩形”是假命题.

（4） 当四边形ABCD满足条件______时，它的中点四边形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中点四边形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的对角线相等这一共同的性质使得它们的中点四边形中有一组邻边相等.因此，要四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形，只要使原四边形ABCD的对角线相等即可.

请你画一个四边形ABCD，并使对角线AC=BD，再画出中点四边形EFGH，如图4，你能说明四边形EFGH一定是菱形吗？

（5） 归纳：原四边形的对角线相等的数量关系正好为中点四边形的邻边提供了相等这一数量关系，从而使中点四边形为菱形.

活动2 活动1为我们研究这类问题提供了一个模式，请你参照活动1的研究过程探索以下问题：

（1） 菱形ABCD的中点四边形EFGH是什么特殊四边形，如图5，猜想并说明？

（2） 当四边形ABCD的中点四边形EFGH是矩形时，如图6，则原四边形ABCD只需满足什么条件？

（3） 归纳：原四边形的对角线______的位置关系为中点四边形的邻边提供了______这一位置关系，从而使中点四边形为矩形.

（4） 请你结合上述活动经验并通过画图说明：要使中点四边形EFGH是正方形，则原四边形ABCD应满足什么条件？

活动3 探究中点四边形与原四边形之间的面积关系.

请你从特殊情况入手，如图6，原四边形ABCD的面积为AC·BD，中点四边形EFGH的面积为EF·EH=AC·BD，所以中点四边形的面积是原四边形面积的一半.由此猜想：任意四边形的中点四边形面积是原四边形的一半，如图1.

探究方法：如图7，请你说明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四个三角形全等，所以这四个三角形的面积都为△ABC的. 如图8，由图7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四边形ABCD，故中点四边形的面积是原四边形面积的一半.

活动4 当原四边形是凹四边形时，它的中点四边形要成为菱形、矩形、正方形，那么原四边形又需要满足什么条件呢？它的中点四边形的面积还是原四边形的一半吗？请你按照上述的研究方法进行探索.

可见，在研究中点四边形的过程中，四边形（特别是特殊四边形）的性质和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四边形提供了对角线的数量相等或位置垂直这种关系，通过三角形的中位线传递给了中点四边形的邻边，从而决定中点四边形的形状.类比与变式是研究问题的基本方法，把研究凸四边形与其中点四边形的关系的方法可以迁移到研究凹四边形中. 探究中运用三角形中位线所构成的基本图形来沟通中点四边形的边与原四边形的对角线、面积与面积之间的关系，同学们要注重在探究过程中积累这些基本的数学活动经验.

（作者单位：江苏省常熟市海虞中学）

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顺次连接任意四边形ABCD的各边中点所组成的四边形称为中点四边形，如图1，它一定是平行四边形. 这个结论是法国数学家皮埃尔·瓦里格农（Pierre Varignon，1654年-1722年）发现的，并且他还发现中点四边形的面积是原四边形面积的一半. 但遗憾的是，他所发现的结论直到他逝世后的1731年才被作为定理发表. 人们为了纪念这位杰出的数学家和力学家，把中点四边形称为瓦里格农平行四边形. 下面，请同学们来一起研究中点四边形与原四边形之间的关系.

活动1 （1） 探索矩形ABCD的中点四边形EFGH是______形.

请你画矩形ABCD和其中点四边形EFGH，如图2，观察猜想四边形EFGH的形状. 由三角形中位线的性质得：HG=AC，HE=BD，又矩形的对角线AC=BD，故HG=HE，所以四边形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中点四边形EFGH是菱形”的逆命题是___________. 这个逆命题是______命题（填“真”或“假”）.

（3） 请你画一个等腰梯形ABCD和它的中点四边形EFGH，如图3.

你一定能说明此时的中点四边形也是菱形. 可见，（2）中的逆命题“四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD是矩形”是假命题.

（4） 当四边形ABCD满足条件______时，它的中点四边形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中点四边形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的对角线相等这一共同的性质使得它们的中点四边形中有一组邻边相等.因此，要四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形，只要使原四边形ABCD的对角线相等即可.

请你画一个四边形ABCD，并使对角线AC=BD，再画出中点四边形EFGH，如图4，你能说明四边形EFGH一定是菱形吗？

（5） 归纳：原四边形的对角线相等的数量关系正好为中点四边形的邻边提供了相等这一数量关系，从而使中点四边形为菱形.

活动2 活动1为我们研究这类问题提供了一个模式，请你参照活动1的研究过程探索以下问题：

（1） 菱形ABCD的中点四边形EFGH是什么特殊四边形，如图5，猜想并说明？

（2） 当四边形ABCD的中点四边形EFGH是矩形时，如图6，则原四边形ABCD只需满足什么条件？

（3） 归纳：原四边形的对角线______的位置关系为中点四边形的邻边提供了______这一位置关系，从而使中点四边形为矩形.

（4） 请你结合上述活动经验并通过画图说明：要使中点四边形EFGH是正方形，则原四边形ABCD应满足什么条件？

活动3 探究中点四边形与原四边形之间的面积关系.

请你从特殊情况入手，如图6，原四边形ABCD的面积为AC·BD，中点四边形EFGH的面积为EF·EH=AC·BD，所以中点四边形的面积是原四边形面积的一半.由此猜想：任意四边形的中点四边形面积是原四边形的一半，如图1.

探究方法：如图7，请你说明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四个三角形全等，所以这四个三角形的面积都为△ABC的. 如图8，由图7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四边形ABCD，故中点四边形的面积是原四边形面积的一半.

活动4 当原四边形是凹四边形时，它的中点四边形要成为菱形、矩形、正方形，那么原四边形又需要满足什么条件呢？它的中点四边形的面积还是原四边形的一半吗？请你按照上述的研究方法进行探索.

可见，在研究中点四边形的过程中，四边形（特别是特殊四边形）的性质和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四边形提供了对角线的数量相等或位置垂直这种关系，通过三角形的中位线传递给了中点四边形的邻边，从而决定中点四边形的形状.类比与变式是研究问题的基本方法，把研究凸四边形与其中点四边形的关系的方法可以迁移到研究凹四边形中. 探究中运用三角形中位线所构成的基本图形来沟通中点四边形的边与原四边形的对角线、面积与面积之间的关系，同学们要注重在探究过程中积累这些基本的数学活动经验.

（作者单位：江苏省常熟市海虞中学）

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顺次连接任意四边形ABCD的各边中点所组成的四边形称为中点四边形，如图1，它一定是平行四边形. 这个结论是法国数学家皮埃尔·瓦里格农（Pierre Varignon，1654年-1722年）发现的，并且他还发现中点四边形的面积是原四边形面积的一半. 但遗憾的是，他所发现的结论直到他逝世后的1731年才被作为定理发表. 人们为了纪念这位杰出的数学家和力学家，把中点四边形称为瓦里格农平行四边形. 下面，请同学们来一起研究中点四边形与原四边形之间的关系.

活动1 （1） 探索矩形ABCD的中点四边形EFGH是______形.

请你画矩形ABCD和其中点四边形EFGH，如图2，观察猜想四边形EFGH的形状. 由三角形中位线的性质得：HG=AC，HE=BD，又矩形的对角线AC=BD，故HG=HE，所以四边形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中点四边形EFGH是菱形”的逆命题是___________. 这个逆命题是______命题（填“真”或“假”）.

（3） 请你画一个等腰梯形ABCD和它的中点四边形EFGH，如图3.

你一定能说明此时的中点四边形也是菱形. 可见，（2）中的逆命题“四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD是矩形”是假命题.

（4） 当四边形ABCD满足条件______时，它的中点四边形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中点四边形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的对角线相等这一共同的性质使得它们的中点四边形中有一组邻边相等.因此，要四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形，只要使原四边形ABCD的对角线相等即可.

请你画一个四边形ABCD，并使对角线AC=BD，再画出中点四边形EFGH，如图4，你能说明四边形EFGH一定是菱形吗？

（5） 归纳：原四边形的对角线相等的数量关系正好为中点四边形的邻边提供了相等这一数量关系，从而使中点四边形为菱形.

活动2 活动1为我们研究这类问题提供了一个模式，请你参照活动1的研究过程探索以下问题：

（1） 菱形ABCD的中点四边形EFGH是什么特殊四边形，如图5，猜想并说明？

（2） 当四边形ABCD的中点四边形EFGH是矩形时，如图6，则原四边形ABCD只需满足什么条件？

（3） 归纳：原四边形的对角线______的位置关系为中点四边形的邻边提供了______这一位置关系，从而使中点四边形为矩形.

（4） 请你结合上述活动经验并通过画图说明：要使中点四边形EFGH是正方形，则原四边形ABCD应满足什么条件？

活动3 探究中点四边形与原四边形之间的面积关系.

请你从特殊情况入手，如图6，原四边形ABCD的面积为AC·BD，中点四边形EFGH的面积为EF·EH=AC·BD，所以中点四边形的面积是原四边形面积的一半.由此猜想：任意四边形的中点四边形面积是原四边形的一半，如图1.

探究方法：如图7，请你说明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四个三角形全等，所以这四个三角形的面积都为△ABC的. 如图8，由图7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四边形ABCD，故中点四边形的面积是原四边形面积的一半.

活动4 当原四边形是凹四边形时，它的中点四边形要成为菱形、矩形、正方形，那么原四边形又需要满足什么条件呢？它的中点四边形的面积还是原四边形的一半吗？请你按照上述的研究方法进行探索.

可见，在研究中点四边形的过程中，四边形（特别是特殊四边形）的性质和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四边形提供了对角线的数量相等或位置垂直这种关系，通过三角形的中位线传递给了中点四边形的邻边，从而决定中点四边形的形状.类比与变式是研究问题的基本方法，把研究凸四边形与其中点四边形的关系的方法可以迁移到研究凹四边形中. 探究中运用三角形中位线所构成的基本图形来沟通中点四边形的边与原四边形的对角线、面积与面积之间的关系，同学们要注重在探究过程中积累这些基本的数学活动经验.

（作者单位：江苏省常熟市海虞中学）

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