探秘隐含条件

林宇杰

很多题目都含有某些隐含条件，它们有浅有深. 有的隐含条件藏得并不隐蔽，明眼人一眼便可以洞察这些小把戏. 例如：

△ABC中，有∠A=70°，∠B=30°，求∠C的度数.

这种题目太简单了，很多人都能求出来，∠C=180°-70°-30°=80°. 但不禁要问180°是从哪里来的？这个“180°”便是从△ABC的三角之和而来的. “180°”便是这个简单题目的隐含条件，只不过藏得不隐蔽而已.

可是，当隐含条件将自己埋得更深时，题目的难度也就上升一个档次了.

例如本周数学活动课上，我们探究的无盖长方体盒子问题，我们就遇到了隐含条件藏得很深的难题.

【问题情境】一个无盖的长方体盒子的容积为V.

【问题设计1】如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？

【问题设计2】如果盒子底面是长为b、宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？

【问题设计3】上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？（不计制造材料的厚度）

我们都知道影响体积的变量有三个：长、宽、高，体积=长·宽·高.

在（1）中，我们知道长、宽都为a，所以表面积S1=a2+4··a，化简得S1=.

在（2）中，知道了长为b、宽为c，所以表面积S2=bc+2··（b+c），化简得S2=.

但接下来要比较S1和S2的差可就有些难度了，因为到底是用“S1-S2”还是“S2-S1”，这个问题的突破口很难寻找，所以想到加上绝对值“S1-S2”. 如果是考场上，丢分就少了，因为仅仅是没有化简而已. 若固执地去猜想“S1-S2”还是“S2-S1”，蒙对的几率只有一半，但在这一半的基础上还是要丢失“S1-S2”或“S2-S1”的推理过程分.

要想成功突破“S1-S2”还是“S2-S1”这个难点，有赖于之前说过的隐含条件.

第（3）问说两个盒子的底面积相等，很多人都得到了a2=bc，但却难以再次进行突破. 回想小学时，我们也碰到过“面积相等”. 那时，我们通过实践都知道在四边形当中，周长相等时，正方形面积最大. 也就是当面积相等时，正方形周长最小.

切换到这道题目中，我们由a2=bc（面积相等），得到了4a<2（b+c）（正方形周长最小），所以2a

将这个不等式代入S1和S2中，便可以发现S1

我又联想到在上次期中考试中一道考题：

已知a、b、c是△ABC的三边的长度，请猜想b2+c2-a2-2bc是正数、负数还是零？解释原因.

我记得当时很多人没有做出来，便是因为隐含条件没有充分开发. 比如，有些人已将原式化简得到：

b2+c2-a2-2bc=（b-c+a）（b-c-a）.

但没有能继续突破和有后续进展，原因是什么？

仔细读题，想起老师以前说过，“题目做不了，往往是因为条件没有被充分利用”. 这个题目中有一个很关键却又很容易被忽视的条件“a、b、c是△ABC的三边的长度”. 这里就有一个隐含条件，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以b-c+a为正数，而b-c-a应该是负数.

所以（b-c+a）（b-c-a）=正数·负数=负数. 即原式是负数.

综上，隐含条件之重要性不言而喻，它们往往最容易被忽视，却又起到左右题目的重要作用，所以充分开发、重视和利用隐含条件对于难题破解是很重要的.

刘老师点评:小林这篇研究论文很有思维深度，又能“旁征博引”，是一篇少有的高质量数学写作. 特别是文中用三个不同的题例阐释了隐含条件的可能“表征”，它们有浅有深，而较难问题往往隐含条件埋藏得很深，需要充分解读. 想起美国数学家乔治·波利亚在名著《怎样解题》中所说“回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的”，对于本文所涉及的较难的隐含条件来说，思路不能获得贯通的原因往往就是在“回答尚未弄清的问题”.

最后，作为变式训练的需要，还可将问题做如下改编，同学们思考是不是跟小林同学提供的解答是一样的？

【问题变式】两个无盖长方体盒子A1、A2，它们的容积分别是V1、V2.

（1） 若盒子A1的底面是边长为a的正方形，则这个盒子的高是______；

（2） 若盒子A2的底面是长为b、宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？

（3） 在（1）、（2）的条件下，若V1=V2，且a2=bc，两种盒子A1、A2的表面积哪个大？大多少？

（指导教师：刘东升）