为什么不能除以0?

王建东

一般而言，任何数都能被另外的任何数除，只是不能除以0. “除以0”是被禁止的；甚至在试图用计算机除以0时，也会显示错误信息. 为什么除以0是禁区呢？

困难在于我们不能定义除以0. 例如，如果我们可以坚持定义，任何数除以0都等于42. 但结果在此定义下，我们无法同时让所有运算法则正常生效. 如果采用这种定义，那么从1/0=42开始，应用标准运算法则可以推断出1=42×0=0.

在考虑除以0之前，我们必须对除法遵循的法则达成一致意见. 老师一般都会这样介绍，除法是一种与乘法相对的运算. 6除以2等于几？得到的值就是乘2得6的数，也就是3. 因此下面两个等式在逻辑上是等价的：

6/2=3和6=2×3

3是这里唯一有效的数，因此6/2是无歧义的.

遗憾的是，当我们尝试定义除以0时，这种方法遇到了很大的问题. 6除以0得几？它是乘0得6的数. 啊，任何数乘0都得0，无法得到6.

因此6/0不成立. 任何除以0的数都如此，也许除了0本身. 0/0等于几？

通常，如果将一个数除以它本身，得到的值为1. 因此我们可以定义0/0=1. 而0=1×0，因此与乘法的关系不冲突. 然而，数学家坚持认为0/0没有意义. 他们担心的是如果采用另一种算法规则，假设0/0=1，那么

2=2×1=2×（0/0）=（2×0）/0=0/0=1

这显然是不成立的.

这里的主要问题是：由于任何数乘0都等于0，因此我们推断出0/0可以是任何数. 如果这种算法成立，而且除法是乘法的逆运算，那么0/0可以是任何数值. 它不是唯一的，所以最好避免这种情况.

等一下，如果你除以0，难道不是得到无穷大吗？

是的，有时数学家使用这种约定. 但是当他们这么做时，必须相当小心地检查他们的逻辑，因为“无穷大”是不可捉摸的概念. 它的意思取决于上下文，特别要注意的是，你无法假设它能像普通数一样运算.

就算让除以0等于无穷大有意义，这个问题仍然令人头疼不已.

（作者单位：江苏省常熟市昆承中学）