分式方程“无解”一定是“增根”吗?

徐雨萍

在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根. 那么分式方程的无解问题一定由增根造成的吗？这需要打一个大大的“？”. 先结合下面这个题目说说：

例1 m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？

解：原方程化为+=.

方程两边同时乘（x+2）（x-2）得

2（x+2）+mx=3（x-2），①

∵增根可能为x=2或x=-2，

∴当x=2时，代入①式，m=-4，

当x=-2时，代入①式，m=6.

∴m=-4或m=6时，原方程有可能产生增根.

如果由“例1”就认定“增根问题”一定是“无解问题”，那就可能犯错误了！这不，最近一次考试中，我就遇到了这样的麻烦. 请看，

例2 若关于x的分式方程-1=无解，则求m的值.

初始解法：方程两边都乘x（x-3）得：

（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），

即（2m+1）x=-6，②

∵关于x的分式方程-1=无解，

∴增根可能为x=0或x-3=0，即x=0或x=3，

当x=0时，代入②得：（2m+1）×0=-6，

解得：此方程无解；

当x=3时，代入②得：（2m+1）×3=-6，

解得：m=-1.5.

综上，m的值为-1.5.

没想到上面的解答没有得到全分，我很纳闷，老师帮助我们订正时，补充了下面的一种情况：

对于方程②来说，∵当2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=-0.5，

结合我原来的“增根考虑”，综上，m的值是-0.5或-1.5.

刘老师点评：由于初中阶段解分式方程时一般都是去分母转化为整式方程，而在转化为整式方程的过程中，潜藏着风险：两边同乘的分母可能为0！所以需要验根，防止出现增根，导致原分式方程无解. 但是，反过来，无解并不一定对应增根，因为整式方程也可能会无解. 小徐同学在上文中通过不同的题例及求解展现了这方面的深刻理解，值得同学们倾听和理解. 往大了说，这里还需对“一一对应”和“单值对应”做出思辨理解，而这种思辨和思想的理解，同学们会在高中阶段的“映射”中再次见到.

（指导教师：江海人）