“逆运算”的内涵解析及其表现标准

摘要 《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确提出：“减（除）法是加（乘）法的逆运算”，为何不提“加（乘）法是减（除）法的逆运算”或者“加减、乘除互为逆运算”呢？对逆运算、互为逆运算有三种解释：映射视角、函数视角以及单位元视角，不同视角的解释会带来不同答案。小学阶段在具体情境中可以说“加减、乘除互为逆运算”，不应拘泥于映射视角的解释，并以“减法是加法的逆运算”为例提出了它的表现标准。

关  键  词 《义务教育数学课程标准（2022年版）》 四则运算 逆运算 内涵解析 表现标准

引用格式 刘加霞.“逆运算”的内涵解析及其表现标准[J].教学与管理，2022（32）：31-33.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》明确指出：数与代数是义务教育阶段数学学习的重要领域，在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。强调“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”[1]该内容要求与以往数学课程标准相比发生很大变化。简言之，特别强调数概念、数的运算的一致性，特别强调整体地把握运算之间的关系。例如，《2022年版课标》中多次（共计10次提及“逆运算”，其中2次提到“乘方与开方互为逆运算”，其他8次关涉四则运算）强调“减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算”。而以往数学课程标准中关于“四则运算”都没有明确提及“逆运算”这个术语。如此强调“逆运算”显然是凸显“运算之间的关系”，即从“整体上”理解运算。但是关于四则运算均不谈“互为逆运算”，而乘方与开方谈“互为逆运算”，为何呢？

一、“逆运算”与“互为逆运算”带来的“麻烦”

《2022年版课标》中非常谨慎地、只是明确地提出“减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算”。很自然地，有老师会问为何不提出“加法是减法的逆运算、乘法是除法的逆运算”呢？甚至再追问“加减法互为逆运算、乘除法互为逆运算”是正确的还是错误的？后两者在《2022年版课标》中没有提及，我们知道这是编写者“小心翼翼”选择的结果。因为“严格地说”，后面两种观点是“不正确的”或者是“不妥的”。那么，既然要“严格、谨慎地”对待“逆运算”，有教师马上就提出，在第四学段的“内容要求”与“学业要求”中明确写着“了解乘方与开方互为逆运算”“知道乘方与开方互为逆运算”。既然可以说“乘方与开方互为逆运算”，那为何不能说“加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”呢？在小学数学教材以及实际教学中，是否要明确提出“逆运算”这个术语，是否要明确提出“减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算”这两个事实？如果明确地提出来了，学生通过“类比推理”得出“加法是减法的逆运算、乘法是除法的逆运算”到底算正确还是错误？

从“学理”上教师可以解释说明“加与减、乘与除互为逆运算”是不正确的，但这些解释不可能“讲给”小学生听。实际教学中，总有一些特别爱思考的学生非要追问“加法是减法的逆运算、乘法是除法的逆运算”到底“对不对”时，一线教师该怎样回答呢？专家可能会说“模糊处理”，只要学生“知道减法是加法逆运算、除法是乘法逆运算”就行。但是，不是一直倡导要让学生“学会发现问题、提出问题”吗？学生发现、提出问题（猜想）了，总要知道它“正确与否”吧。既不能判断它正确与否、更不能解释“其所以然”，那么在教学实践中到底该如何处理呢？教师日常教学中如果說它们“互为逆运算”难道算“科学性错误”？

还有另一个“麻烦”，《2022年版课标》的第一学段“数与运算”的“学业要求”有“知道减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算[2]”，既然是“学业要求”，学段结束后学生就必须达到该要求。但是，判定是否达到学业要求的“标准”是什么？即如何判断学生是否“知道”呢？学生能够完成哪些任务或解决哪些问题就表明学生已经“知道”这些结论（命题）？这又涉及到“学业要求”的表现标准问题。作为纲领性文件的课程标准不可能将每一个“学业要求”的表现标准都“描述出来”，需要教材编写者、一线教师与专家学者共同来研究。

二、“逆运算”与“互为逆运算”的含义

有很多人认为“加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”是不正确的，也认为减法、除法“不存在逆运算”，有人甚至认为也不能说“乘方与开方互为逆运算”[3]。为何《2022年版课标》在小学阶段“小心翼翼”地提加法与乘法的逆运算，但不提“互为逆运算”，而到了初中阶段却“直截了当”地写上“乘方与开方互为逆运算”呢？难道小学阶段要“严谨”而中学阶段却可以“模糊”“不纠缠”互为逆运算的内涵？

判断前述命题是否正确的前提是“什么是运算以及逆运算、什么是互为逆运算”。前面提及的研究者基本都是按照1986年6月新疆青少年出版社出版的由铁鹏主编的《中学数学词典》中对逆运算的定义：设某一集合内定义了一种运算*，且对其中的元素a、b、c有a*b=c，则把已知a、c求b或已知b、c求a的过程叫做*的逆运算。由这个定义（称之为映射定义）可以知道，如果*是加（乘）法运算，则前述两个过程都是减（除）法，所以减（除）法是加（乘）法的逆运算。但是，如果*是减（除）法，则前述两个过程中虽然有b+c=a（b×c=a），但是还有a+c≠b（a×c≠b）的存在，所以“加（乘）法不是减（除）法的逆运算”，即不能说“加减法互为逆运算，乘除法互为逆运算”。当*是“乘方”时，乘方的逆运算是开方运算与对数运算，即乘方存在两种逆运算，所以说“乘方与开方互为逆运算”不正确。

“乘方与开方互为逆运算”真的不正确吗？不是，论述之不正确是按照前述逆运算的映射定义推理得到的。但是，从函数及其反函数的角度看，“乘方与开方互为逆运算”是正确的。从函数角度（称之为函数定义）看，两种运算互为逆运算就是指一个函数存在反函数，二者“互反”，当然其前提是“函数存在反函数”且是指一元函数，有的函数不存在反函数在此不论及。例如，当*是乘方运算时，前面的映射（即乘方运算）就是ab=c，这是一个二元函数（涉及三个变量），为了将其变为一元函数，需要将a或b看作常数：当将b看作常数，就是幂函数y=xb（乘方运算），它的反函数是y=b=（开方运算）；反过来也成立，所以可以说“乘方与开方互为反函数”，也可以说“乘方与开方互为逆运算”。当将a看作常数，就是指数函数y=ax（a＞0且a≠1），它的反函数是对数函数y=logax（a＞0且a≠1）；反之，对数函数的反函数是指数函数，所以“指数运算与对数运算互为逆运算”也是正确的。

当*是减法、除法运算时，如果把减数、除数当作常数，则x-b=y或x÷b=y存在反函数，分别是y=x+b或者y=b×x，此时，可以说加（乘）法是减（除）法的逆运算。但是，当被减数、被除数是常数时，而a-x=y或a÷x=y的反函数是它自身，此时不能说“加（乘）法是减（除）法的逆运算”。所以，一般不说“加减法互为逆运算、乘除法互为逆运算”，由第一种情况可知，“加（乘）法是减（除）法的逆运算”不能算错误。

在小学阶段可以再换一个角度（称之为单位元定义）来看互逆运算：对某个运算对象A进行*运算，然后再进行**运算（或者先进行**运算，再进行*运算），如果所得到的结果仍然是A，则称*与**互为逆运算。例如，因为有：A+b-b=A、A-b+b=A，则称加法减法互为逆运算也解释得通，其直观表现就是“向右走5步，再向左走5步，一定回到了原点”。同理，乘法除法也可以称作“互为逆运算”，其直观表现就是“把一段绳子先放大5倍，再缩小到它的，绳子长短没变”。小学数学日常教学中教师们不要去纠结“加减法互为逆运算、乘除法互为逆运算”是否正确、是否能说，在具体情境中“说了”不算错误。例如，经典的“一图四式”都有助于学生认识到加法和减法运算的互逆关系[4]。

此外，随着数系的扩充只剩下两种运算：加法、乘法。例如，从自然数集合扩充到整数集，减法也是加法，即“减去一个数等于加这个数的相反数”，再扩充到有理数集，除法也是乘法，即“除以一个数等于乘这个数的倒数”。既然数系扩充后，只剩加法、乘法两种运算，再强调“减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算”意义不大。在群论中，单位元以及逆元的价值更大，即单位元定义更有价值。

由上述论证看出，什么是“逆运算”可以从不同角度定义和解释。所以，强烈建议：在小学第一学段的教材中不要明确写出“逆运算”“减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算”等术语和事实性结论，否则将引发太多的“解释不清”、太多的“麻烦”。但是，在第一学段如何让学生直观地感知“减法是加法的逆运算（学生提出‘加法是减法的逆运算不能算错误）”呢？如何判断学生是否“知道减法是加法的逆运算”而不纠缠前述跟学生“说不清、道不明”的命题？这就涉及表现标准问题，即第一学段的该项学业要求要渗透在理解加减法运算意义及其问题解决中。

三、“学业要求”的表现标准亟待厘清

《2022年版课标》中明确提出了“学业要求”“学业质量标准”这一“创新点”，“学业要求主要明确学段结束时学习内容与相关核心素养所要达到的程度[5]”。如何判断学生是否达到了“学业要求”呢？学生有哪些“行为表现”就说明他达到了“知道减法是加法的逆运算”的学业要求呢？即這个学业要求的表现标准是什么呢？如果没有表现标准，教材编写者如何编写教材？一线教师如何有效实施教学以达到“学业要求”呢？如果表现标准不明确、不具备可操作性，教材编写者的理解、一线教师的理解都与《2022年版课标》的要求“不一致”，如何落实新课标呢？由此可见，“学业要求”的表现标准亟待厘清。

下面以“知道减法是加法的逆运算”为例阐述其表现标准。当下各版小学数学教材都将加减法、乘除法分别编写在同一册教材中，让学生在“比较”中学习加减法各自能解决的实际问题，利用实际问题情境感悟两种运算的互逆关系。学生能解决哪些问题或有哪些行为表现即能表明学生“知道减法是加法的逆运算”？笔者认为其表现标准主要包括以下几方面。

1.能够正确完成如图1所示的问题

2.能够正确填写□-5=7中的数，且学生思考过程是“因为5+7=12，所以填写12”。或者能够完成图2所示的内容。

可以看出，图1、图2的问题都在强调“加减法互为逆运算”。

3.借助“左右跳”游戏活动，只要“左右跳”的步数相同，一定可以“跳回原点”。当然，能够在数线上“表达”前述“活动过程”更可以表明学生“知道减法是加法的逆运算”。

4.能够解决“逆向加法”问题。例如，飞机场停放着9架飞机，飞走了3架，问飞机场原来有多少架飞机。其思考过程是：多少架飞机减去3架等于9架？用“9+3=？”解决。

5.利用加减法的互逆关系正确计算出结果。例如，计算71-69=？有学生通过“69+2=71”得到“71-69=2”。

此外，脱式计算、利用等式性质解决问题等等都蕴含着加减法、乘除法为“互逆运算”。作为“基本事实”，它们无处不在。

参考文献

[1][2][5] 中华人们共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：18，19，17.

[3] 兰昌雄.谈谈互为逆运算[J].四川教育学院学报，2001（05）：64.

[4] 蔡金法，江春莲，聂必凯.我国小学课程中代数概念的渗透、引入和发展：中美数学教材比较[J].课程·教材·教法，2013，33（06）：57-61+122.

［责任编辑：陈国庆］