例谈判定正方形的三种方法

2023-04-03 14:31孟惠
语数外学习·初中版 2023年11期
关键词:邻边菱形直角

孟惠

正方形,不仅是特殊的平行四边形,而且 是特殊的矩形和菱形.对此,笔者从平行四边 形、矩形、菱形三个角度,总结了判定正方形 的常用方法,以期能够帮助同学们学以致用.

一、利用“平行四边形+一组邻边相等+一 个角为直角”判定

有一组邻边相等,且有一个角为直角的 平行四边形,被称为“正方形”.根据这一定 义,在证明一个四边形是否为正方形时,不妨 以平行四边形为切入点,先思考该四边形是 否为平行四边形,然后考虑它的一组邻边是否 相等,能否证明一个角为直角.若该四边形既是 平行四边形,又有一组邻边相等,且一个角为 直角,那么就可以判定该四边形为正方形.

例1

分析:由题意可知,四边形 MNQP 中有 一组邻边相等,一个角为直角,因此,要证明 该四边形为正方形,只需要证明四边形 MNOQ 为平行四边形,且有一个角为直角即可.

证明:

评注:在证明一个四边形为正方形时,同 学们要从正方形的基本概念出发,借助“平行 四边形+一组邻边相等+一个直角”进行判定.

二、利用“矩形+一组邻边相等”判定

正方形也是邻边相等的矩形.在判定一 个四边形是否为正方形时,同学们还可以从 矩形的角度予以考虑,先对这个四边形是否 为矩形进行判定,再判断它是否有一组邻边 相等.若这个四边形为矩形,且有一组邻边相 等,那么此四边形必为正方形.

例2

分 析 :由 题 意 易 知 △MAN、△NDP、△QCP、△MBQ 都为等腰直角形,这样就有 ∠MAN = ∠D = ∠PCQ = ∠B = 90°,易证得四边 形 ABCD 为矩形,只要再证明矩形 ABCD 中 有一组邻边相等,即可使问题得证.

证明:

评注:在证明一个四边形为正方形时,如 果该四边形为矩形,且有一组邻边相等,那么 这个四边形就是正方形.

三、利用“菱形+一个角是直角”判定

正方形的四条边都相等,四个角都相等 且都是直角.根据这一重要性质,在判定一个 四边形为正方形时,可先观察条件中是否蕴 含了几组相等的边,并由此先证明该四边形 为菱形,再证明它有一個角为直角,进而利用 “有一个角是直角的菱形为正方形”判定该四 边形为正方形.

例3 如图3,已知四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形,延长 BC 到点 M,在 AB 上任取一 点N,使得CM = BG = AN. 求证:四边形 DNFM 为正方形.

分析:本题由已知条件易证得△DAN≌ △NGF≌△MEF≌△DCM,易得到 DN = NF = FM = MD,进而证得四边形 DNFM 为菱形,这 样只要再证明菱形 DNFM 中有一个角为直 角,问题即可迎刃而解.

证明:

评注:在判定一个四边形为正方形时,同 学们除了考虑平行四边形、矩形外,还要注意 从菱形的角度去分析和解答问题.

当然,判定正方形的方法并不只有上述 提及的这三种,同学们在平时的学习中,要 注意掌握不同几何图形的定义、特点、性质 以及判定方法,多归纳总结,从而提高解题 能力.

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