四边形新定义问题例析

王峥

四边形新定义问题，是培养学生创造性思维的良好素材，包括“等邻边四边形”问题、“等角相邻点”问题、“妙线”问题、“准等距点”问题等.以下作一分析探讨，以飨读者.

1 “等邻边四边形”问题

菱形、正方形是四边都相等的四边形，它们都是从实际生活中抽象出来的，因为应用广泛而得到推广.“等邻边四边形”是指有两组邻边相等的凸四边形.“等邻边四边形”有什么性质？又如何判定呢？下面结合实例进行探讨.

例1   我们定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如菱形、筝形都是特殊的“等邻边四边形”．

（1）如图1，四边形ABCD中，若∠ABC=∠BCD，BC∥AD，对角线BD恰巧平分∠ABC，则四边形ABCD“等邻边四边形”.（填“是”或“不是” ）．

（2）在探究“等邻边四边形”的性质时：

①小红画了一个“等邻边四边形” ABCD（如图2），其中AB=AD，BC=CD，若∠A=80°，∠C=60°，写出∠B，∠D的度数．

②小红猜想：对于任意四边形，若有一组邻边相等，一组对角相等，则这个四边形为“等邻边四边形”.你认为他的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

（3）在锐角三角形ABC中，AB=AC，在平面内存在一点P，使PB=BA，PA=PC，四边形PABC可能是“等邻边四边形”吗？若可能，画出符合题意的图形，并求∠BAC的度数；若不可能，请说明理由.

解析：（1）由AD∥BC，∠ABC=∠BCD，可知四边形ABCD是等腰梯形，则AB=CD.

由∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠DBC，得∠ABD=∠ADB，则AD=AB，AD=DC，所以四边形ABCD有两组邻边相等，即四边形ABCD是“等邻边四边形”.故填答案：是．

（2）①如图3，连接AC．因为AB=AD，BC=DC，AC=AC，所以△ABC≌△ADC（SSS），可得∠B=∠D.又∠BAD=80°，∠BCD=60°，则∠B+∠D=360°－80°－60°=220°.所以∠B=∠D=110°．

②小红猜想错误．反例，如图4所示．四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=∠ADC=60°，四边形不是“等邻边四边形”．

（3）①如图5，当CB=CP时，由PA=PC，可知四边形ABCD是“等邻边四边形”．设BP交AC于点O.

因为PB=AC，AB=BA，PA=BC，所以△ABP≌△BAC（SSS），可得∠PBA=∠BAC，则AO=OB，PO=CO，从而可知∠OPC=∠OCP=∠OAB=∠OBA.又∠OPC=∠CBP，

则∠ABC=∠ACB=2∠BAC，所以∠BAC=15×180°=36°.

②如图6，当△ABC是等边三角形时，四边形ABCP是“等邻边四边形”．

综上所述，满足条件的∠BAC的值为36°或60°．

2 “等角相邻点”问题

平行四边形的对角线互相平分；菱形的对角线互相垂直平分；矩形的对角线相等且互相平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分.这些实际上是对应四边形的中心点與四边形的关系，“等角相邻点”问题是指四边形内一点与其四个顶点连接，在四边形内形成的四个角中有两组角相等.那么，如何得到等角相邻点？等角相邻点又有什么性质呢？

例2  如图7-1，在四边形ABCD内取一点P，连接AP，BP，CP，DP，如果∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，那么P叫做四边形ABCD的一个等角相邻点．

（1）如图7-2，已知正方形ABCD，请在其内部找一点P，使P为等角相邻点，且α≠β；

（2）如图7-3，已知任意四边形ABCD，请在其内部找一点P，且P为等角相邻点；

（3）如图7-4，已知任意四边形ABCD，在它的内部有两个等角相邻点P1，P2，证明：线段P1P2上任意一点也是等角相邻点．

解析：（1）如图8，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点.

（2）如图9，画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，则点P即为所求.

（3）证明：连接P1A，P1D，P1B，P2C和P2D，P2B，如图10.根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，则∠AP1B+∠BP1C=180°．所以点P1在AC上.同理可知，点P2也在线段AC上．在△DP1P2和△BP1P2中，因为∠DP2P1=∠BP2P1，P1P2=P1P2，∠DP1P2=∠BP1P2，所以有△DP1P2≌△BP1P2（ASA），可得DP1=BP1，DP2=BP2，于是B，D是轴对称点，关于直线AC对称．如果在P1P2上任取一点P，作线段PD，PB，根据轴对称的性质，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC.故P1P2上的任意一点是四边形的等角相邻点．

3 “妙线”问题

由于中心对称图形绕中心旋转180°后能与原图形重合，所以过中心对称图形对称中心的任一条直线，分中心对称图形成两部分，这部分的面积是相等的.但是对于任意四边形，如何画一条直线把它分成面积相等的两部分呢？下面结合实例对此进行深入的讨论，并将这样一条直线称为“妙线”.

例3  我们把能将四边形分成两部分，且这两部分的面积相等，这样的直线称为“妙线”．下面的图示，是得到“妙线”的过程：如图11，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“妙线”．

（1）如图11，试说明直线AE是“妙线”的理由；

（2）如图12，AE为一条“妙线”， F为AD边上的一点，请作出经过点F的“妙线”，并说明理由；

（3）如图13，已知一块土地是五边形ABCDE，经过开发，又得到多边形EDCMN，中间的折线CDE是一条小路，现要修一条直路，且这条直路经过点E，使直路右边的面积不作改变，如何画图呢？

解析：（1）如图14，由点O是BD的中点，可得S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，则S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC=12S四边形ABCD，所以S四边形ABCO=12S四边形ABCD．故折线AOC能平分四边形ABCD的面积.设AE交OC于点F．由OE∥AC，可知S△AOE=S△COE，则S△AOF=S△CEF.由于折线AOC能平分四边形ABCD的面积，因此直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“妙线”．

（2）如图15，连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“妙线”．

理由：由AG∥EF，可知S△AGE=S△AFG．设AE与FG的交点是O，则S△AOF=S△GOE.又AE为一条“妙线”，所以GF为一条“妙线”．

（3）如图16，连接CE，过点D作DF∥EC交CM于点F，连接EF，则EF为所修的直路.

本文中从形到点再到线，对四边形内存在的特殊四边形、特殊点、特殊线作了深入细致的研究，得到了一些创造性的结论，开阔了学生的认知视野，培养了学生创新解决问题的能力，是四边形领域里一道亮丽的风景线.