从分式基本性质到约分和通分

周红娟

一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是说分子与分母都乘（或除以）的整式必须是同时，并且是同一个整式.

例1 在括号内填入适当的整式，使等号成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【讲解】紧扣“性质”进行观察、分析，通过比较等式左、右两边分式的分子、分母发生了怎样的变化，应用分式基本性质作出正确解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不为0的整式”的意义

我们在应用基本性质时，应首先考虑同乘（或除以）的整式的值是否为0. 如果为0，则分式的分母为0，无意义. 并且所乘（或除以）的数或式子必须是整式.

三、 注意理解③“分式值不变”

理解分式基本性质的实质是恒等变形，即“形”变而“分式的值”不变，不能等同于等式的性质.

例2 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”号.

（1） ；（2） ；（3） .

【讲解】（1） 同时改变分子、分母的“-”号，分式值不变；（2） 同时改变分子和分式本身的符号，分式值不变；（3） 同时改变分母和分式本身的符号，分式值不变.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【变式问题】不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项符号为正.

【讲解】此题要注意：分子、分母应先提取“-”号，再化简. 切勿把分子、分母首项符号当成了分子、分母的符号.

解：==.

下面我们再由分式的基本性质带来的两种重要的变形“约分”和“通分”做出一些解读.

三、 约分

利用分式的基本性质，分子、分母同时除以公因式，达到约分的目的. 若分子、分母是单项式：先找出公因式，后约去；若分子、分母是多项式时，先“准备”，然后因式分解，再约分.

例3 约分：

（1） ；（2） .

【讲解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最简公分母，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母. 确定几个分式的最简公分母是通分的关键.

例4 通分：与.

【讲解】确定最简公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者单位：江苏省南通市第一初级中学）

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一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是说分子与分母都乘（或除以）的整式必须是同时，并且是同一个整式.

例1 在括号内填入适当的整式，使等号成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【讲解】紧扣“性质”进行观察、分析，通过比较等式左、右两边分式的分子、分母发生了怎样的变化，应用分式基本性质作出正确解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不为0的整式”的意义

我们在应用基本性质时，应首先考虑同乘（或除以）的整式的值是否为0. 如果为0，则分式的分母为0，无意义. 并且所乘（或除以）的数或式子必须是整式.

三、 注意理解③“分式值不变”

理解分式基本性质的实质是恒等变形，即“形”变而“分式的值”不变，不能等同于等式的性质.

例2 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”号.

（1） ；（2） ；（3） .

【讲解】（1） 同时改变分子、分母的“-”号，分式值不变；（2） 同时改变分子和分式本身的符号，分式值不变；（3） 同时改变分母和分式本身的符号，分式值不变.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【变式问题】不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项符号为正.

【讲解】此题要注意：分子、分母应先提取“-”号，再化简. 切勿把分子、分母首项符号当成了分子、分母的符号.

解：==.

下面我们再由分式的基本性质带来的两种重要的变形“约分”和“通分”做出一些解读.

三、 约分

利用分式的基本性质，分子、分母同时除以公因式，达到约分的目的. 若分子、分母是单项式：先找出公因式，后约去；若分子、分母是多项式时，先“准备”，然后因式分解，再约分.

例3 约分：

（1） ；（2） .

【讲解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最简公分母，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母. 确定几个分式的最简公分母是通分的关键.

例4 通分：与.

【讲解】确定最简公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者单位：江苏省南通市第一初级中学）

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一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是说分子与分母都乘（或除以）的整式必须是同时，并且是同一个整式.

例1 在括号内填入适当的整式，使等号成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【讲解】紧扣“性质”进行观察、分析，通过比较等式左、右两边分式的分子、分母发生了怎样的变化，应用分式基本性质作出正确解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不为0的整式”的意义

我们在应用基本性质时，应首先考虑同乘（或除以）的整式的值是否为0. 如果为0，则分式的分母为0，无意义. 并且所乘（或除以）的数或式子必须是整式.

三、 注意理解③“分式值不变”

理解分式基本性质的实质是恒等变形，即“形”变而“分式的值”不变，不能等同于等式的性质.

例2 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”号.

（1） ；（2） ；（3） .

【讲解】（1） 同时改变分子、分母的“-”号，分式值不变；（2） 同时改变分子和分式本身的符号，分式值不变；（3） 同时改变分母和分式本身的符号，分式值不变.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【变式问题】不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项符号为正.

【讲解】此题要注意：分子、分母应先提取“-”号，再化简. 切勿把分子、分母首项符号当成了分子、分母的符号.

解：==.

下面我们再由分式的基本性质带来的两种重要的变形“约分”和“通分”做出一些解读.

三、 约分

利用分式的基本性质，分子、分母同时除以公因式，达到约分的目的. 若分子、分母是单项式：先找出公因式，后约去；若分子、分母是多项式时，先“准备”，然后因式分解，再约分.

例3 约分：

（1） ；（2） .

【讲解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最简公分母，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母. 确定几个分式的最简公分母是通分的关键.

例4 通分：与.

【讲解】确定最简公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者单位：江苏省南通市第一初级中学）

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